专题09 四边形综合篇-备战2023年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）

专题08 四边形综合 知识回顾 1. 平行四边形的性质： ①边的性质：两组对边分别平行且相等。 ②角的性质：对角相等，邻角互补。 ③对角线的性质：对角线相互平分。即对角线交点是两条对角线的中点。 ④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。 ⑤面积计算：等于底乘底边上的高。等底等高的两个平行四边形的面积相等。 2. 平行四边形的判定： ①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ∵AB∥DC，AB=DC，∴四边行ABCD是平行四边形 ②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。 符号语言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四边行ABCD是平行四边形． ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB，∴四边行ABCD是平行四边形 ④对角线相互平行的四边形是平行四边形。 ∵OA=OC，OB=OD，∴四边行ABCD是平行四边形 3. 矩形的性质： ①具有平行四边形的一切性质。 ②矩形的四个角都是直角。 ③矩形的对角线相等。 ④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。 ⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4. 矩形的判定： （1）直接判定： 有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。 （2）利用平行四边形判定： ①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。 ②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。 5. 菱形的性质： ①具有平行四边形的一切性质。 ②菱形的四条边都相等。 ③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。 ④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。 ⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。 6. 菱形的判定： （1）直接判定： 四条边都相等的四边形是菱形。 几何语言：∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形 （2）利用平行四边形判定： ①定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。 ②对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。 7. 正方形的性质： ①具有平行四边形的一切性质。 ②具有矩形与菱形的一切性质。 所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。 正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。 8. 正方形的判定： （1）利用平行四边形判定： 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定） （2）利用菱形与矩形判定： ①有一个角是直角的菱形是正方形。 ②对角线相等的菱形是正方形。 ③邻边相等的矩形是正方形。 ④对角线相互垂直的矩形是正方形。 9. 中点四边形的判定： ①任意四边形的中点四边形是平行四边形。 ②对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。（菱形的中点四边形是矩形） ③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。（矩形的中点四边形是菱形） ④对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。（正方形的中点四边形是正方形） 专题练习 1．如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接BD，AE． （1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由． 2．如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF． 求证：（1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 3．如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）若AE＝AC，求证：AB＝DB． 4．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F． （1）请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠ADB＝∠　 　．（两直线平行，内错角相等） 又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC， ∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠DBC． ∴∠EDB＝∠DBF． ∴DE∥　 　．（ 　 　）（填推理的依据） 又∵四边形ABCD是平行四边形． ∴BE∥DF． ∴四边形DEBF为平行四边形（