5.3.2 函数的极值 课件——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值 更多精品素材：http://shop248912786.taobao.com/index.htm （下拉可隐藏） 1 学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何直观角度理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．（数学抽象、逻辑推理、直观想象） 2.掌握函数极值的判定及求法．（逻辑推理、数学运算） 3.掌握函数在某一点取得极值的条件．（数学抽象、逻辑推理） 2 新课导入 问题： 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 3 新课导入 问题1：观察下列图形，函数 在 ， ， ， ， ， 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ [答案] 以 ， 两点为例，函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小，函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大. 4 新课导入 问题2： <m></m> 在点 <m></m> ， <m></m> 处的导数值是多少？ [答案] 0. 问题3：在点 <m></m> ， <m></m> 附近， <m></m> 的导数的符号有什么规律？ [答案] 在点 附近的左侧 ，右侧 .类似地，在点 附近的左侧 ，右侧 . 5 讲授新课 1.极值点与极值的概念 如图，函数 在点 的函数值 比它在点 附近其 他点的函数值都小， ；而且在点 附近的左侧 ， 右侧 ，则把点 叫作函数 的极小值点， 叫 作函数 的极小值. 函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大， ；而且在点 附近的左侧 ，右侧 ，则把点 叫作函数 的极大值点， 叫作函数 的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值. 6 讲授新课 思考 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 提示： 导数值为 0 的点不一定是函数的极值点 例如，对于函数，我们有.虽然，但由于无论x>0，还是x<0，恒有，即函数 是增函数，所以0不是函数 的极值点 一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件. 7 讲授新课 2. 的极值点 与 的关系 一般来说，“ ”是“函数 在点 处取得极值”的必要不充分条件． 若可导函数 在点 处可导，且在点 处取得极值，则 ；反之，若 ，则点 不一定是函数 的极值点.可导函数 的极值点 一定是导函数 的变号零点． 8 例题讲解 例1 求函数的极值. 解： 因为 所以 . 令，解得 x=-2，或 x=2. 当 x 变化时，， f(x)的变化情况如下表所示. x -2 (-2,2) 2 + 0 - 0 + f (x) 单调递增 单调递减 单调递增 9 例题讲解 x -2 (-2,2) 2 + 0 - 0 + f (x) 单调递增 单调递减 单调递增 因此， 当 x=-2 时， f(x)有极大值，并且极大值为 当 x=2 时， f(x)有极小值，并且极小值为 10 例题讲解 例2 求函数 <m></m> 的极值. [解析] ，令 ，解得 ， . 当 变化时， 和 的变化情况如表所示： + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此，当 时， 有极大值，极大值为 ； 当 时， 有极小值，极小值为 . 11 巩固训练 1判断正误. (1) 函数的极大值一定比极小值大．(　　) (2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．(　 ) (3) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( ) (4) 单调函数不存在极值．( ) × × √ √ 12 巩固训练 2.已知函数 的定义域为 ，导函数 在 上的图象如图所示，则函数 在 上的极大值点的个数为( ). A. B. C. D. [解析] 由导函数的图象可知， 在 上与 轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故 不是函数 的极值点．其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个． 13 巩固训练 3 已知函数的图象如图所示，则有（ ） A．b>0, c>0 B. b<0, c>0 C. b>0, c<0 D. b<0, c<0 解： 由函数 f(x