专题7 复数及其四则运算 -【满分计划】2022-2023学年高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第二册）

专题7 复数及其四则运算 （一）复数的概念 1.虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立． 2.复数的概念 形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部． ①当b＝0时，复数a＋bi为实数； ②当b≠0时，复数a＋bi为虚数； ③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数． 3.复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0. 4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作． 5. 复数的模 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或.即＝＝r＝ (r≥0，r∈R)． 6.共轭与模是复数的重要性质，运算性质有： (1)；(2)；(3)；(4)； (5)；(6). （二）复数的几何意义 1.z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)． 2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数． （三）复数的四则运算 1.复数的加、减、乘、除的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； (2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (3) (z2≠0)． 2. . 一、单选题 1．已知，其中为虚数单位，则（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由复数的除法运算，化简求复数的代数形式，再利用复数模的计算公式，即可求解． 【详解】由复数满足，则， 则， 故选：B． 2．若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（    ）． A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】通过条件计算出复数z的代数形式，即可得实部. 【详解】， 则， 则z的实部为. 故选：D. 3．若复数（其中i是虚数单位），则（    ） A．5 B．12 C．13 D．17 【答案】C 【分析】根据复数的模的性质、模长公式和共轭复数的模的性质可求出结果. 【详解】因为， 所以． 故选：C． 4．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数乘方及除法求出复数，再求出对应点的坐标作答. 【详解】依题意，， 所以复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A 5．设，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】先根据条件求出的代数形式，再求出，代入计算即可. 【详解】由得， 故选：A. 6．已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据已知列式解出，即可根据复数的运算得出答案. 【详解】复数是纯虚数， ，且，故， . 故复数在复平面内对应的点在第一象限， 故选：A. 7．已知复数z满足3z－1＝（z＋2）i，则z＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】复数，代入已知等式，利用复数相等求解未知数. 【详解】设复数，代入，有， 则，解得，∴. 故选：D 8．是虚数单位，设复数满足，则的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先利用模长公式和复数除法计算，再根据共轭复数的定义即可知其对应的点所在象限. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的共轭复数对应的点位于第一象限， 故选：A 9．已知复数满足，是的共轭复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简等式得到，计算得到共轭复数，即可得到的值. 【详解】解：由题意 在中， ∴ ∴ 故选：B. 10．若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设，利用复数相等求出，即可求解. 【详解】设，（为虚数单位）. 因为, 所以，所以，解得：. 所以， 所以 故选：A 11．已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用纯虚数化简，求出参数，得复数在复平面上对应点的坐标即可. 【详解】因为复数为纯虚数， 由，可知， 所以，则， 所以复数在复平面上对应的点为， 位于第四象限. 故选：D 12．已知在复平面内，复数z所对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得复数，再进行除法运算即可. 【详解】依题意，． 故选：A. 13．已知复数，则的值为