6.2.4　向量的数量积（1）导学案——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一数学必修第二册第六章导学案 6.2.4 向量的数量积 6.2.4 向量的数量积（1） 【学习目标】 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解数量积的几何意义，掌握平面向量数量积的运算性质； 2．通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟”数学化”过程及思想； 【自主学习】 1．向量夹角 已知两个向量和，作＝，＝，则（）叫做向量与的夹角． 当 时，与同向； 当 时，与反向； 当时，与的夹角是，我们说与 ，记作 ． 2．向量数量积的定义 已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即． 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 3．数量积的性质 设，都是非零向量，是与的夹角，则 ① （||||≠0）； ② 当与同向时， ；当与反向时， ； 特别地：或 ； ③ ； ④ = （，）. ( C )4．数量积的几何意义 （1）投影的概念 如图，＝，过点作垂直于直线，垂足为，则． 我们把（││cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，把向量叫做向量在方向上（在方向上）的投影向量. 思考：当为锐角、钝角、直角、0、180时，射影的值如何？ 【合作探究】 例1　判断正误，并简要说明理由． ① ·＝； ② ·＝； ③ －＝； 　 ④ ＝||||； ⑤ 若，则对任一非零，有； ⑥ ＝0，则与至少有一个为； ⑦ 对任意向量、、都有()·＝·()； ⑧ 与是两个单位向量，则＝． 例2　已知向量与向量的夹角为，||＝2，||＝3，分别在下列条件下求： （1）； （2）∥； （3）⊥． 例3　（1）已知正的边长为，设＝，＝，＝， 求． （2）　已知，设＝，＝，＝，，，，且，求． 例4 已知，，，且是与方向相反的单位向量，则在上的投影向量为______. 【当堂检测】 1.已知||＝10，||＝12，且(3)·()，求与的夹角. 2.已知||＝2，||＝，与的夹角为，且-与垂直，求实数. 3.已知||＝4，||＝3， ①若与夹角为，求(+2)·(-3)； ②若(2－3)·(2＋)＝61，求与的夹角． 4.已知为单位向量，，则在方向上的投影的数量为（ ） A． B．2 C． D． 学必求其心得，业必贵其专精。————-（清）章学诚 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $