第1章　二次根式——专题2 二次根式的运算　学案　2022—2023学年浙教版数学八年级下册

专题2、二次根式的运算 考点一、二次根式的乘除法 （1）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （2）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，会使二次根式无意义，如﹣4×﹣9≠（）×（），同样在使用二次根式的除法运算也是如此。 1．（2021春•江干区期末）下列计算中正确的是（　　） A．（﹣）2＝﹣3 B．＝0.1 C．＝1 D．3＝ 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝＝，故B不符合题意．C、原式＝＝，故C不符合题意．D、原式＝3×＝，故D符合题意．故选：D． 【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 2.（2022春·浙江湖州·八年级校联考阶段练习）一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积为______． 【分析】根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴（）2+（）2=（）2，∴这个三角形是直角三角形，斜边长为2， ∴这个三角形的面积为××=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键． 3．（2019春•慈溪市期中）计算： （1） （2） 【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值； （2）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式＝8＝8×3＝24； （2）原式＝2××＝． 【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（2016秋•柯桥区校级月考）你能找出规律吗？ （1）计算：×＝　6　，＝　6　．×＝　20　，＝　20　． （2）请按找到的规律计算：①×； ②×． 【分析】（1）直接利用二次根式乘法运算法则化简求出答案； （2）直接利用二次根式乘法运算法则化简求出答案． 【解答】解：（1）×＝6，＝6.×＝4×5＝20，＝20． 故答案为：6，6，20，20； （2）①×＝10； ②×＝＝＝4． 【点评】此题主要考查了二次根式乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 考点二、分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式。 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式，一个二次根式的有理化因式不止一个。 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数。 5．（2020秋•会宁县期末）下列各数中与相乘结果为有理数的是（　　） A． B． C．2 D． 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：A、（2﹣）×＝2﹣2，不合题意； B、×＝2，符合题意；C、2×＝2，不合题意； D、×＝，不合题意；故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6．（2021·浙江宁波·八年级期中）实数的整数部分为__________． 【分析】先将实数分母有理化化简，再根据二次根式的性质和不等式的性质估值，即可求解 【解析】解：＝＝2+， ∵1＜3＜4，∴1＜＜2，即3＜2+＜4， 则实数的整数部分为3．故答案为：3． 【点睛】 此题主要考查了无理数的估算能力，首先将实数分母有理化，再结合二次根式的性质和不等式的性质进行估算是本题解题的关键． 7．（2020春•长兴县期中）二次根式，，的大小关系是（　　） A． B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小． 【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较： ∵＝，＝＝，； ∴＜＜．故选：C． 【点评】解答本题的关键是将各分式分母有理化，然后再比较它们的大小．在分母有理化的过程中，找出分母的有理化因式是解题的关键． 8．（2021春•永嘉县校级期末）【知识链接】 （1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+． （2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如： ＝＝﹣1，＝＝﹣． 【知识理解】 （1）填空：2的有理化因式是　　； （2）直接写出下列各式分母有理化的结果： ①＝　﹣　；②＝　3