6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、分类加法计数原理 1、定义：完成一件事情有类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法。 【注意】完成这件事的类方案是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要在用其他的方法。 2、解题思路： （1）分类：将完成这件事的方法分成若干类； （2）计数：求出每一类的方法数； （3）结论：将每一类的方法数相加得出结果。 3、应用分类加法计数原理的注意事项： （1）根据题目特点恰当选择一个分类标准； （2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复； （3）分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏。 二、分步乘法计数原理 1、定义：完成一件事需要个步骤，做第1步有中不同的方法，做第2步有中不同的方法，…，做第步有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法。 【注意】完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不能完成。 2、解题思路： （1）分步：将完成这件事的过程分成若干步； （2）计数：求出每一步中的方法数； （3）结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果。 三、两种计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是完成一件事的不同方法的种数问题 不同点1 完成一件事有类不同方案，关键词是“分类” 完成一件事需要个步骤，关键词是“分步” 不同点2 每类方案都能独立完成这件事情，且每种方法得到的最后结果，只需一种方法就可以完成这件事 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 不同点3 各类方案之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 四、两种计数原理综合应用 1、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在最开始计算之前进行仔细分析—需要分类还是需要分步； 2、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数； 3、分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。 五、解决计数问题常用的方法 1、枚举法：将各种情况通过树形图法、列表法意义列举出来，适用于计数种数较少的情况； 2、间接法：若计数时分类较多或无法直接计数时，可先求出没有限制条件的种数，再减去不满足条件的种数； 3、字典排序法： （1）字典排序法就是把所有字母分前后次序，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排完，则排列结束。 （2）利用字典排序法并结合分步乘法计数原理可以解决与排列顺序有关的计数问题，利用字典排序法还可以把这些排雷不重不漏地一一列举出来。 4、模型法：通过构造图形，利用形象、直观的图形帮助分析和解决问题。 题型一 分类加法计数原理的应用 【例1】（2022秋·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A．40种 B．20种 C．15种 D．11种 【变式1-1】（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A．7种 B．9种 C．14种 D．70种 【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（ ）． A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 【变式1-3】（2022·高二课时练习）如图，将钢琴上的个键依次记为，，…，．设，若且，则称，，为大三和弦；若且，则称，，为小三和弦．用这个键可以构成的大三和弦与小三和弦的个数之和为（ ） A．5 B．8 C．10 D．15 题型二 分步乘法计数原理的应用 【例2】（2022秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考期末）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（ ） A．10种 B．20种 C