4.2.2 等差数列的前n项和公式 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等差数列的性质 设 {an}是公差为d的等差数列，那么 性质1 an =a1+(n-1)d an =am+(n-m)d 性质2 ，若，则 特别地，若，则 复习回顾 例4 已知等差数列{an}的首项a1 =2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项?若是,它是{an}的第几项?若不是,说明理由. 应用举例 课本P16 例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围. 应用举例 课本P16 4.2.2 等差数列前n项和公式 第一课时 一、新课引入 200多年前，高斯的数学老师提出了下面的问题： 1+2+3+4+5+ ⋯+100=？ （1+100）+（2+99）+（3+98）+⋯+（50+51） =101×50=5050. 高斯采用的是什么算法？ 利用首尾配对的方法. 设an=n，那么高斯的算法可以表示为 (a1+a100)+(a2+a99)+(a3+a97)+⋯+(a50+a51)=101×50=5050. 以上求和可以看作等差数列1，2，3，⋯，n的前100项的和. 通过配对凑成相同的数，变“多步求和”为“一步相乘”，即将“不同数的求和”转化为“相同数的求和”. 二、新课讲解 如果左图中的石子有101层，那么第1层到第101层一共有多少石子？ 1+2+3+⋯+101=？ 方法：拿出中间项，再首尾配对. 原式=(1+101)+(2+100)+ ⋯+(50+52)+51=102×50+51=5151. 如果左图中的石子有n层，那么第1层到第n层一共有多少石子？ Tn=1+2+3+⋯+n=？ 按照n取值的奇偶进行分类讨论. 当n为偶数时， 当n为奇数时， 如何避免n取值奇偶的讨论呢？ 倒置 组合 由图形，得到， 所以， 将倒置、组合的过程用数学表达式，可以表述为： 将两个式子相加，可以得到 所以， 这种求和方法，是否可以用在求等差数列{an}的前n项和Sn中呢？ 因为 所以 即 倒序相加法 把等差数列的通项公式 代入上式，得到 等差数列{an}的前n项和公式 三、巩固应用 例1 已知数列{an}是等差数列. （1）若a1=7，a50=101，求S50； （2）若a1=2，a2= ，求S10； （3）若a1= ， ，Sn= -5，求n. 例2 已知一个等差数列{an}前10项和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 解：由题意，知 把它们代入公式 得 解方程组，得 四、等差数列前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{an}的前n项和公式 可化简为 这个函数式与函数 有什么关系？ 当d≠0 时， 是二次函数 当x = n时的函数值. 当d=0 时，Sn的图象是一条 直线上的均匀分布的点. 当d >0 时，Sn的图象是一条开口 向上的过坐标原点的抛物线上孤立的点. 当d<0 时，Sn的图象是一条开口 向下的过坐标原点的抛物线上孤立的点. 五、课后小结 1.等差数列前n项和公式推导方法：倒序相加法. 2.等差数列前n项和公式： 为等差数列 的前n项和(为常数) 3.等差数列的判定（记住结论） 2.用前n项和公式判定等差数列 若数列的前n项和,则是等差数列吗？ 为等差数列 的前n项和(为常数) 结论： 3.满足前n项和为Sn=pn2+qn+r（其中p、q、r为常数，q≠0）的数列{an}是否为等差数列？ 当r=0时，数列{an}是以p+q为首项，2p为公差的等差数列； 当r≠0时，数列{an}从第二项起是以2p为公差的等差数列. $