4.2.1 等差数列的性质 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 第二课时 等差数列的性质 1.等差数列的定义： 2. 通项公式： {an}为等差数列  4. 等差数列的判断 定义法：an+1- an=d(n∈N*) 或 an-an-1=d （n≥2）  通项公式法（小题可用）an=p n + q (p、q是常数)  an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*) an =a1+(n-1)d 由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项. 3.等差中项： 这三个数满足关系式： 等差中项法：= 复习回顾 等差数列的性质 设 {an}是公差为d的等差数列，那么_______ d. 解：∵ an =a1+(n-1)d ① am =a1+(m-1)d ② 由①-②得， an - am =(n-m)d ∴ an =am+(n-m)d (n-m) 探究新知 已知数列{}是等差数列，，且，证明： 证明：设数列{an}的公差为d，则 am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d ＝2a1＋(m＋n－2)d， ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d ＝2a1＋(p＋q－2)d， 因为m＋n＝p＋q，所以 am＋an＝ap＋aq. 思考：已知数列{an}是等差数列，由am＋an＝ap＋aq 能推出 m+n=p+q吗？ 等差数列的性质 特别地，若，则 等差数列的性质 设 {an}是公差为d的等差数列，那么 性质1 an =a1+(n-1)d an =am+(n-m)d 性质2 ，若，则 特别地，若，则 性质应用 练习册17页 例1 （1） （2） 等差数列的性质 性质3 已知等差数列{}， {}，公差分别为, ,则有 ①下标成等差数列的项, , ,…组成等差数列，公差是______； ② 数列{}(是常数)是等差数列，公差是________； ④数列{} (是常数) 是等差数列，公差是____________. 特别地，所有偶数项构成的数列, , ,…,公差是_____； 所有奇数项构成的数列, , ,…,公差是_____. ③等差数列中依次项之和，即 ， ， 是等差数列，公差是________； 2 2 性质应用 课本P18 T4 例4 已知等差数列{an}的首项a1 =2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项?若是,它是{an}的第几项?若不是,说明理由. 应用举例 课本P16 例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围. 应用举例 课本P16 补充题型 练习册17页 例2 几个数成等差数列的设项方法 几个数成等差数列的设项方法与技巧 (1) 当已知数列有奇数项时，可设为：…, a－d，a，a＋d,…,此时公差为d. (2)当已知数列有偶数项时，可设为：…, a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d. 归纳总结 等差数列的性质 设 {an}是公差为d的等差数列，那么 性质1 an =a1+(n-1)d an =am+(n-m)d 性质2 ，若，则 特别地，若，则 课堂小结 $