第2部分 专题5 综合与实践（精练册）-【一战成名】2023陕西中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·陕西数学 专 题 五 综 合 与 实 践 专题五　综合与实践 类型 １　与基本几何图形性质有关的问题（２０２２新增） 题图③ 例　（２０２２陕西２６题１０分） 问题提出 （１）如图①，ＡＤ是等边△ＡＢＣ的中线，点 Ｐ在 ＡＤ的延长线上，且 ＡＰ＝ＡＣ，则∠ＡＰＣ的度数为　７５°　； 题图① 　　　　　　 题图② 问题探究 （２）如图②，在△ＡＢＣ中，ＣＡ＝ＣＢ＝６，∠Ｃ＝１２０°．过点 Ａ作 ＡＰ∥ ＢＣ，且ＡＰ＝ＢＣ，过点 Ｐ作直线 ｌ⊥ＢＣ，分别交 ＡＢ，ＢＣ于点 Ｏ， Ｅ，求四边形ＯＥＣＡ的面积； 解：如解图①，连接 ＢＰ． ∴四边形 ＡＣＢＰ是菱形，∴ＢＰ＝ＡＣ＝６． ∵∠Ｃ＝１２０°，∴∠ＰＢＥ＝６０°． ∵直线ｌ⊥ＢＣ， ∴ＢＥ＝ＰＢ·ｃｏｓ６０°＝３，ＰＥ＝ＰＢ·ｓｉｎ６０°＝３槡３， ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＢＣ·ＰＥ＝９槡３， ∵∠ＡＢＣ＝３０°，∴ＯＥ＝ＢＥ·ｔａｎ３０°＝槡３， ∴Ｓ四边形ＯＥＣＡ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＯＢＥ＝９槡３－ １ ２×３×槡３＝ １５槡３ ２ ； 一题多解法 问题解决 （３）如图③，现有一块△ＡＢＣ型板材，∠ＡＣＢ为钝角，∠ＢＡＣ＝４５°． 工人师傅想用这块板材裁出一个△ＡＢＰ型部件，并要求 ∠ＢＡＰ＝１５°，ＡＰ＝ＡＣ．工人师傅在这块板材 上的作法如下： ①以点Ｃ为圆心，以ＣＡ长为半径画弧，交ＡＢ 于点Ｄ，连接ＣＤ； 【点拨】 （１）ＡＤ是等边△ＡＢＣ的中 线，根据三线合一的性质 可知 ＡＤ即为∠ＢＡＣ的平 分线，ＡＰ＝ＡＣ，由等边对 等角可知∠ＡＰＣ＝∠ＡＣＰ， 在△ＡＰＣ中，由三角形内 角和为１８０°进行求解． （２）根据 ＢＣ＝ＡＰ，ＢＣ∥ ＡＰ，ＢＣ＝ＡＣ构造菱形 ＡＰＢＣ；四边形 ＯＥＣＡ为不 规则图形，要计算其面积， 则转化为规则图形面积的 和差，即Ｓ四边形ＯＥＣＡ＝Ｓ△ＡＢＣ－ Ｓ△ＯＢＥ． ８４１ 一战成名·陕西数学 专 题 五 综 合 与 实 践 ②作ＣＤ的垂直平分线ｌ，与ＣＤ交于点Ｅ； ③以点Ａ为圆心，以 ＡＣ长为半径画弧，交直线 ｌ于点 Ｐ，连接 ＡＰ，ＢＰ，得△ＡＢＰ． 请问，若按上述作法，裁得的△ＡＢＰ型部件是否符合要求？请证 明你的结论． 解：符合要求，证明：方法１： 由作法知 ＡＰ＝ＡＣ． ∵ＣＤ＝ＣＡ，∠ＣＡＢ＝４５°，∴∠ＡＣＤ＝９０°． 如解图②，以 ＡＣ，ＣＤ为边，作正方形 ＡＣＤＦ，连接 ＰＦ， ∴ＡＦ＝ＡＣ＝ＡＰ． ∵ｌ是 ＣＤ的垂直平分线，∴ｌ是ＡＦ的垂直平分线，∴ＰＦ＝ＰＡ， ∴△ＡＦＰ为等边三角形，∴∠ＦＡＰ＝６０°， ∴∠ＰＡＣ＝３０°，∴∠ＢＡＰ＝１５°， ∴裁得的△ＡＢＰ型部件符合要求． 方法２：如解图③，过点 Ｐ作 ＰＧ⊥ＡＣ于 Ｇ，则四边形 ＥＰＧＣ为 矩形， ∵ＰＥ是ＣＤ的垂直平分线，ＡＣ＝ＤＣ＝ＡＰ， ∴ＥＣ＝ＤＥ＝ＰＧ＝１２ＡＰ，∴∠ＰＡＣ＝３０°， ∵∠ＢＡＣ＝４５°，∴∠ＢＡＰ＝４５°－３０°＝１５°． 方法３（简答）：如解图④，过 Ｃ作 ＣＧ⊥ＡＰ于 Ｇ，∠ＧＣＰ＝９０°－ ∠ＧＰＣ＝９０°－∠ＡＣＰ＝∠ＰＣＥ，构造△ＧＰＣ≌△ＥＰＣ，由 ＧＣ＝ ＥＣ＝１２ＡＣ可得∠ＧＡＣ＝３０°， ∴∠ＢＡＰ＝４５°－３０°＝１５°． 方法４（简答）：如解图⑤，过点 Ａ作 ＡＧ⊥ＥＰ延长线于 Ｇ，ＧＰ交 ＡＤ于Ｍ，易证△ＡＭＧ≌△ＤＭＥ，则∠ＭＡＧ＝４５°，由ＧＡ＝ＥＣ＝１２ ＡＰ可得∠ＧＡＰ＝６０°，∴∠ＢＡＰ＝６０°－４５°＝１５°． （３）明确尺规作图痕迹的 意义（详见基础知识训练 册第七章“命题点 １　尺 规作图”）． 方法１：将等腰直角三角形 ＡＤＣ补全，构造正方形，再 构造等边三角形，利用正 方形和等边三角形特殊角 进行求解． 方法２：过点Ｐ作 ＡＣ的垂 线，构造矩形，根据３０°所 对的直角边等于斜边的一 半得到∠ＰＡＣ＝３０°，从而 求解． 方法 ３：过点 Ｃ作 ＡＰ垂 线，构造△ＣＧＰ≌△ＣＥＰ， 则ＣＧ＝１２ＡＣ，从而求解． 方法４：过Ａ作ＡＧ⊥ＥＰ延 长线于Ｇ，ＧＰ交ＡＤ于Ｍ， 构造△ＡＭＧ≌△ＤＭＥ，从 而∠ＭＡＧ＝４５°，∠ＧＡＰ＝ ６０°，从而求解． ９４１ 一战成名·陕西数学 专 题 五 综 合 与 实 践 １． 问题提出 （１）如图①，△ＡＢＣ是等边三角形，线段 ＡＤ 是△ＡＢＣ中 ＢＣ边上的高，ＤＥ⊥ＡＣ于点 Ｅ， 则 Ｓ△ＡＢＣ Ｓ△ＤＥＣ 的值为　　　　． 问题探究 （２）如图②，现有一块△ＡＢＯ型纸板，∠Ａ＝ ４５°，∠Ｏ＞９０°．小明想用这块纸板材裁出一 个△ＯＡＰ型部件，要求∠ＯＡＰ＝１５°，小明在 这块板材上的作法如下： ①在ＡＢ上任取一点 Ｅ，分别以点 Ａ，Ｅ为圆 心，ＡＥ的长为半径画弧，交 ＡＯ的左侧于 点Ｆ， ②分别以点 Ｆ，Ｅ为圆心，ＡＦ的长为半径画 弧，两弧交于Ｅ