通关练20 等比数列的通项及前n项和的性质及其应用-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第二册)

通关练20 等比数列的通项及前n项和的性质及其应用 一、单选题 1．（2022春·北京·高二北京市第十二中学校考期中）已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】由公比且可得充分性不成立，必要性显然成立，由此可得答案. 【详解】当公比且时，，，此时，，不递增，充分性不成立， 当等比数列为递增数列时，，显然必要性成立. 综上所述：“”是“为递增数列”的必要而不充分条件. 故选：A 2．（2022春·安徽宿州·高二校联考期中）已知等比数列，下列选项能判断为递增数列的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性和单调性的性质逐项分析即可． 【详解】对于A，，，则单调递减，故A不符题意； 对于B，，，则会随着n取奇数或偶数发生符号改变，数列为摆动数列，故B不符题意； 对于C，，，则为常数数列，不具有单调性，故C不符题意； 对于D，，，∵，y=在R上单调递减，故为递增数列，故D符合题意． 故选：D﹒ 3．（2022春·上海松江·高二统考期末）已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则数列单调递增 B．若，则数列单调递增 C．若数列单调递增，则 D．若数列单调递增，则 【答案】D 【分析】根据等比数列的前n项和公式与通项公式可得与，进而可得、取值同号，即可判断A、B； 举例首项和公比的值即可判断C； 根据数列的单调性可得，进而得到，求出，即可判断D. 【详解】A：由，得，即，则、取值同号， 若，则不是递增数列，故A错误； B：由，得，即，则、取值同号， 若，则数列不是递增数列，故B错误； C：若等比数列，公比，则， 所以数列为递增数列，但，故C错误； D：由数列为递增数列，得，所以， 即，所以，故D正确. 故选：D 4．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）已知等比数列的公比为q，且，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质分析判断 【详解】当时，则，则数列为递减数列， 当是递增数列时，，因为，所以，则可得， 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 5．（2022春·安徽阜阳·高二安徽省临泉第一中学统考期末）无穷数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的有（    ） A．为等比数列 B．为递增数列 C．中存在三项成等差数列 D．中偶数项成等比数列 【答案】D 【分析】利用与的关系，求通项公式，从而判断各选项正误. 【详解】解：无穷数列的前项和为，满足 ， 当时，，不符合上式， 所以不是等比数列，故A错误； 又，所以不是递增数列，故B错误； 假设数列中存在三项成等差数列，由于，则，所以得： ，则，又 且恒成立，故式子无解，中找不到三项成等差数列，故C错误； ， 是等比数列，即中偶数项成等比数列，故D正确. 故选：D． 6．（2022秋·江苏苏州·高二统考期中）已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意可知，由得，设，则，利用一次函数和指数函数的性质，结合图形，可得时；时；时，依次判断选项即可. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为()， 若，则，得，解得，不符合题意； 所以，得，又， 令，得，即①， 设，则且， 所以①式变为， 由题意，知和是方程的两个解， 令，且， 则一次函数与指数函数的图象至少有2个交点， 作出两个函数图象，如图，          当函数与单调递增或递减时，才会有2个解， 且无论哪种情况，都有时，； 时，；时，； 所以，，，， 即，，，. 故选：C. 7．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期末）若数列为等比数列，且是方程的两根，则的值等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合方程的根与系数关系及等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意得,, 故 所以 故选: . 8．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期末）在等比数列中，，，则等