7.4.2超几何分布课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

7.4.2超几何分布 1 复习引入 1.分布列： 分布列 2 复习引入 2.两点分布，n重伯努利试验 3.二项分布 3 　　已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 　　 　 问 题 　　已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 　　我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X～B(4，0.08). 　 问 题 　　如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布？如果不服从，那么X的分布列是什么? 　 思 考 　　采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验．而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布. 　　 　 思 考 　 思 考 　　可以根据古典概型求X的分布列．由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，4．从100 件产品中任取4件，样本空间包含　　个样本点，且每个样本点都是等可能发生的．其中4件产品中恰有k 件次品的结果数为 　　　．由古典概型的知识，得X的分布列为 计算的具体结果(精确到0.000 01)如表7.4-1所示. 表7.4-1 X 0 1 2 3 4 P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002 　 思 考 　　一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 其中n，N，M∈N*，M ≤ N，n ≤ N，m=max{0，n－N+M}，r =min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布(hypergeometric distribution). 定义 1.公式中字母的含义 N—总体中的个体总数 M—总体中的特殊个体总数(如次品总数) n—样本容量 k—样本中的特殊个体数(如次品数) 2.根据题意列式计算,不必机械记忆 3.“任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用组合数列式. 4.各对应的概率和必须为1. 11 　概念辨析 例1从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 　例题 解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数，则X可能的取值为0,1，X服从超几何分布，且N=50，M=1，n=5,因此甲被选中的概率为 例2 一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 解: 另解: 设抽取的10个零件中不合格品数为𝑋,则𝑋服从超几何分布,且𝑁=30,𝑀=3,𝑛=10, 𝑋的分布列为 至少有1件不合格的概率为 　 探 究 　　服从超几何分布的随机变量的均值是什么? 　　设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令 　　　 则p是N件产品的次品率，而 是抽取的n件产品的次品率，我们猜想 ，即 E(X)=np. 　　实际上，令m=max{0，n－N+M}，r =min{n，M}．由随机变量均值的定义: 当m>0时, (1) 　　当m=0时，注意到(1)式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立. 　　 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数. 　　(1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列; 　　(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 例3 　　　　 (1)对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X～B(20, 0.4)，X 的分布列为 解： 　　对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为 　　(2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.000 01)，如表7.4-2所示. 表7.4-2 k p1k p2k k p1k p2k k p1k p2k 0 0.00004 0.00001 7 0.16588 0.17972 14 0.00485 0.00217 1 0.00049 0.00015 8 0.17971 0.20078 15 0.00129 0.00041 2 0.00309 0.00135 9 0.15974 0.17483 16 0.00027