专题1.2 角平分线模型（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.2 角平分线模型 【典例1】在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点． （1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数． （2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数． （3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB． 【思路点拨】 （1）根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据角平分线的定义得到∠ABO＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）连接OC，根据角平分线的性质得到OM＝ON，根据全等三角形的性质得到∠EOM＝∠FOH，根据角平分线的定义即可得到结论； （3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OD＝OG＝OH，根据三角形的面积公式即可得的结论． 【解题过程】 解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°； ∵∠BAC＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABO＝30°， ∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°； （2）如图2，连接OC， ∵AE、BF是角平分线，交于O点， ∴OC是∠ACB的角平分线， ∴∠OCF＝∠OCE， 过O作OM⊥BC，ON⊥AC， 则OM＝ON， 在Rt△OEM与Rt△OFN中，， ∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL）， ∴∠EOM＝∠FON， ∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB， ∵AE、BF是角平分线， ∴∠AOB＝90°∠ACB， 即90°∠ACB＝180°﹣∠ACB， ∴∠ACB＝60°； （3）如图3，连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H， ∵AE、BF是角平分线，交于O点， ∴OD＝OG＝OH， ∴S△ABC8×610OD6×OG8×OH， ∴OD＝2， ∴S△AOB10×2＝10． 1．（2022春•振兴区校级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 2．（2021秋•藁城区校级月考）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 3．（2022春•海州区校级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．116° B．100° C．128° D．120° 4．（2021秋•全椒县期末）如图，在△ABC中，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，且PM＝PN，点Q在AC上，∠PAQ＝∠APQ，则下面结论中不一定正确的是（　　） A．AM＝AN B．∠BAP＝∠CAP C．PQ∥AB D．PQ＝PC 5．（2022春•南岗区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2021秋•黄石期末）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（　　） ①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2020秋•永城市期末）如图，∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，C是OB上的动点，连接PC，若PD＝4，则PC的最小值为 　 　． 8．（2022春•双峰县期末）如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点，只需添加 　 　，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线． 9．（2021秋•樊城区月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为27和16，则△EDF的面积为 　 　． 10．（2021秋•兴城市期末）如图，AD、CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G，AE平分∠CAD交BC于E，交CF于M，连接BM交AD于H，且知BM⊥AE． 有下列结论：