专题1.1 等腰三角形中的综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.1 等腰三角形中的综合 【典例1】在ABC中，AB＝AC，AE是ABC的中线，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足∠GEH+∠BAC＝180°． (1)如图1，若∠CAE＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，求证：AEH≌BEG； (2)在（1）的条件下，AG＝3，求线段CH的长度； (3)如图2，延长AE至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H在线段AC的延长线上时，探求线段BF、CH、BG三者之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）利用等腰三角形的性质和已知条件，先证∠BAC＝90°，，， 再结合∠GEH+∠BAC＝180°，证明∠GEH＝90°，进而证明∠AEH＝∠BEG，最后利用ASA即可证明AEH≌BEG； （2）利用（1）中结论，参照（1）中方法利用ASA即可证明CEH≌AEG，即可得出； （3）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ．先利用AAS证明JEG≌CEH，推出，再证明BFE≌BIE，推出BF＝BI，即可得出． 【解题过程】 解：（1）证明：如图所示： ∵AB＝AC，AE是ABC的中线， ∴∠C＝∠B，AE⊥BC， 又∵∠CAE＝45°， ∴∠C＝∠CAE＝45°， ∴∠B＝∠C＝∠CAE＝∠BAE＝45°， ∴∠BAC＝90°，，， ∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠BAC＝90°， ∴∠GEH＝90°， ∴∠AEH+∠AEG＝∠AEG +∠BEG＝90°， ∴∠AEH＝∠BEG， 在AEH和BEG中， ， ∴AEH≌BEG； （2）由（1）知∠C＝∠BAE＝45°，，∠GEH＝90°，AE⊥BC， ∴∠AEC＝∠GEH＝90°， ∴∠AEH+∠CEH＝∠AEH +∠AEG＝90°， ∴∠CEH＝∠AEG， 在CEH和AEG中， ， ∴CEH≌AEG， ∴； （3）， 理由如下： 如图，作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ． 则EI是线段BJ的垂直平分线， ∴， ∵E是BC的中点， ∴， ∴． ∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠GAH+∠BAC＝180°， ∴∠GEH＝∠GAH， 又∵∠GOA＝∠HOE， ∴∠JGE＝∠CHE， ∵，， ∴∠EJB＝∠ABC＝∠ACB， ∴∠EJG＝∠ECH， 在JEG和CEH中， ， ∴JEG≌CEH， ∴， ∵AE⊥BC，DE＝AE， ∴BD＝AB， ∴∠ABE＝∠DBE， ∵EI⊥AB，EF⊥BD， ∴∠BIE＝∠BFE＝90°， 又∵BE＝BE， ∴BFE≌BIE， ∴BF＝BI， ∴． 1．（2021·福建省永春崇贤中学九年级阶段练习）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点E落在AB上，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA，BF，若，． (1)求证△ADF≌△BDF； (2)若，求DF的长． 2．（2021·北京市陈经纶中学八年级期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一点，连接AP，延长BC至点Q，使得，过点作于点，交于点． (1)若∠CAP=20°，则= °． (2)判断AP与QM的数量关系，并证明． 3．（2022·山西·运城市盐湖区教育科技局教学研究室七年级期末）已知：等腰直角，，，，将沿CE折叠，使CA落在直线CH上，BM是的平分线，交AC于M，交CH于N，连接EN． (1)请说明： (2)试判断CE与BM的关系，并说明理由． 4．（2021·广东·沙田第一中学七年级期末）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，B，C，D三点共线，AD与BE相交于点O，AD与CE交与点F，AC与BE交于点G． (1)找出图中一对全等三角形，并说明理由． (2)求∠BOD度数． (3)连接GF，判断△CGF形状，并说明理由． 5．（2022·福建省尤溪县梅仙中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，直线DA交y轴于点E． (1)求证：OC＝AD． (2)∠CAD的度数是______． (3)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？ 6．（2022·全国·八年级专题练习）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE． (1)如图1，当点D在边BC上时，求证： ①BD＝CE， ②AC＝CE＋CD； (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明