专题2.2 平行线中的几何综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题2.2 平行线中的几何综合 【典例1】将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． （1）若三角板如图1摆放时，则∠α=　　 °，∠β=　　 °． （2）现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数； （3）将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的某条边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值． 【思路点拨】 （1）如图1中，过点E作EJPQ，证明，可得结论； （2）如图2中，根据（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH ．利用角平分线的定义求出∠PEH，∠MBH，可得结论； （3）分9种情形∶当ACDF时，当ACDE时，当ACEF时，当BCDF时，当BCED时，当BCEF时，当ABDF时，当ABED时，当ABEF时，分别讨论求出∠MBA的度数，可得结论． 【解题过程】 （1）解∶如图1中，过点E作EJPQ， ∵， PQEJ， ∴EJMN， ∴，∠JEA=∠BAC=45°， ∴， ∵∠DEF=60°， ∴， ∵∠DFE=30°，， ∴， 故答案为∶ 45， 150 ； （2）解：如图2中， 利用（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH ． ∵PQMN， ∴∠QEA=∠BAC=45° ， ∴∠AEP=180°-45°=135°， ∵∠CBA=45°， ∴∠CBM=180°-45°= 135*， ∵HE， HB分别平分∠AEP，∠CBM， ∴∠PEH=∠PEA=67.5°，∠MBH=∠FBM=67.5°， ∴∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°； （3）解：①当ACDF时，如图1， 易得此时BCED ， ∵ACDF，易知E，F，A三点共线，∠DFE= ∠FAC=30°， ∴∠FAB=∠BAC-∠FAC=45-30°= 15°，∠BAM=∠FAM-∠FAB=45°-15°=30°，即15t=30，解得t=2； ②当ACDE时，如图2， 易得此时BCDF．过点A作AHBC，则AH BCDF， ∴∠EAB=∠EAH+∠BAH=∠EFD+∠ABC=30°+45°=75°， ∴∠MAB=∠MAE+∠EAB=45°+75°=120°． ∴15t=120， ∴t=8， 当ACEF时，情况不存在；④当BCDF时，同②；⑤当BCED时，同①； ⑥当BCEF时，如图3， 此∠MAB=90°，即15t= 90，解得t=6； ⑦当ABDF时，如图4， ∵ABDF ∴∠BAF=∠DFE=30°， ∴∠MAB=∠MAF+∠BAF= 45°+30°=75°，即15t=75，解得t=5； ⑧当ABED时， ∵ABED， ∴∠FAB=180°-∠DEF=180°-60°=120°， ∴∠MAB=∠MAF+∠FAB=120°+45°=165°， ∴15t=165， 解得t=11； ⑨当ABEF时，此情况不存在． 综上所述，t的值为2或5或6或8或11． 1．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）直线，BE—EC是一条折线段，BP平分． （1）如图1，若，求证：； （2）CQ平分，直线BP，CQ交于点F． ①如图2，写出和的数量关系，并证明； ②当点E在直线AB，CD之间时，若，直接写出的大小． 2．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）猜想说理： （1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由： 拓展应用： （2）如图4，若，则 度； （3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数． 3．（2022春·四川广元·七年级统考期末）已知直线，直线和，分别交于，两点，点，分别在直线，上，且位于直线的右侧，动点在直线上，且不和点，重合． （1）如图1，当动点在线段上运动时，求证：． （2）如图2，当动点在点上方运动时（，，不在同一直线上），请写出，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当动点在点下方运动时（，，不在同一直线上），直接写出，，之间的数量关系． 4．（2022春·全国·七年级期末）已知：如图，ABCD，BG、FG 分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，BG、FG交于点G． （1）求证：∠BGF＝90°； （2）点M是直线AB上的动点，连接MG，过点G作GN⊥MG，交直线CD于点N，画出图形直线，写出∠MGE和∠NGF的数量关系 ； （3）在（2）的条件下，当∠MGE＝20°，∠AEG＝40°时，求∠CNG的度数． 5．（2022春·重庆永川·七年级统考期末）已知：如图，ABCD． （1）