专题2.1 相交线中的角度综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题2.1 相交线中的角度综合 【典例1】如图，直线、相交于点，，． （1）若，则 __________． （2）从（1）的时刻开始，若将绕以每秒15的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分． （3）从（1）的时刻开始，若将绕点逆时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与、重合的情况） 【思路点拨】 （1）根据，，利用余角性质得出∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，根据，利用余角性质得出∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°即可； （2）解分两种情形，平分，得出，，设运动秒时 根据运动转过的角度列方程，平分，，根据运动转过的角度列方程，解方程即可； （3）分四种情况OE在∠COB内，OE在∠AOC内，OE在∠AOD内，OE在∠DOB内，根据射线是的角平分线∠COP=∠EOP，利用角的和差计算即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°， ∵， ∴∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°， 故答案是：30°； （2）解：分两种情况， 情况一：如图，当平分时， ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时，平分， 根据题意得：， 解得：； 情况二：如图，当平分时， ∵平分， ∴， 设运动秒时，平分， 根据题意得：， 解得：； 综上：运动11或23秒时，直线平分； （3）解：分四种情况， 情况一：如图，当OE在∠COB内时， ∵射线是的角平分线 ∴∠COP=∠EOP，∠AOC=∠EOF=90°， ∴∠AOP=90°+∠COP=90°+∠POE， ∵∠COE=∠BOF， ∴∠POE=， ∴， 情况二：如图，当OE在∠AOC内时， ∵∠COE=∠BOF，射线是的角平分线， ∴∠POC=， ∴∠AOP=90°-∠COP=90°-， ∴， 情况三：如图，当OE在∠AOD内时， ∵∠COE=90°+∠COF=∠BOF，射线是的角平分线， ∴∠POC=， ∴∠AOP=90°-∠COP=90°-， ∴， 情况四：如图，当OE在∠BOD内时， ∵∠COE=90°+∠BOE=∠BOF，射线是的角平分线， ∴∠POC=， ∴∠AOP=90°+∠COP=90°+， ∴； 综上：或． 1．（2021秋·福建福州·七年级统考期中）直线，相交于点．，，分别平分，，．下列说法正确的是（　  　） A．，在同一直线上 B．，在同一直线上 C． D． 2．（2022秋·江西赣州·七年级统考期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③若时，；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2022春·七年级课时练习）如图，直线，，相交于点，，，射线，则的度数为___________． 4．（2022春·七年级课时练习）如图，直线相交于点O．已知把分成两个角，且，将射线绕点O逆时针旋转到，若时，的度数是___________． 5．（2022秋·安徽铜陵·七年级校考阶段练习）直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，作射线OG⊥OE．若∠EOF＝54°，则∠AOG的度数为______． 6．（2022春·江苏·七年级专题练习）已知：如图，直线相交于点O，于O． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数； （3）在（2）的条件下，请你过点O画直线，并在直线上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出的度数． 7．（2022春·七年级课时练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD． （1）若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度数； （2）在（1）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数． 8．（2022春·江苏·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且．请回答下列问题： （1）∠AOE度数是 　 　；∠DOE度数是 　 　； （2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF． ①如图2，当OF平分∠BOE时，OB是否平分∠DOF？请说明其理由； ②当OA⊥OF时，请求出α的度数． 9．（2022春·浙江·七年级专题练习）已知直线与相交于点O． （Ⅰ）如图1，若，平分，则_________． （Ⅱ）如图2，若，，平分，求的大小； （Ⅲ）如图3，若，，平分，求的大小（用含的式子表示）． 10．（2022春·四川成都·七年级统考期末）直线AB与直线CD相交于点O，∠AOD＝90°，射线OF在∠BOD内部． （1）如图1，射线OE在∠AOD内部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，请比较∠AOE和∠DOF的大小，并说明理由； （2）如图2，小亮将∠BOF沿射线OH折叠，使OF与OD重合，O