6.2.3向量的数乘运算-【361课堂】2022-2023学年高一数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019必修第二册)

6.2 平面向量的运算 平面向量及其应用 6.2.3 向量数乘运算 1 课程标准 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几何意义； 2.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义； 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义； 4.通过物理中功等实例，理解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。 2 复习回顾 回顾1 向量的加法运算的法则有哪些？向量加法的运算律有哪些？ O A B C 起点相同，对角为和 =+ 首尾相连首尾连 向量加法满足交换律和结合律 3 回顾2 向量的减法是如何描述的？它的几何意义是怎样的？ 复习回顾 向量的减法： 自然语言：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。 首同尾连向被减： 即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量 这就是向量减法的几何意义 4 新课导入 1.向量的加法运算： ①三角形法则：首尾相接，首指向尾 ②平行四边形法则：起点相同，对角为和 2.向量的减法运算：共起点，连终点，指被减 向量有乘法运算吗？怎么定义呢？运算结果是什么量呢？ 5 一 二 三 教学目标 向量的数乘运算及其几何意义 数乘运算的运算律及其线性运算 平面向量共线定理（重点） 教学目标 难点 重点 易错点 新知探究 探究一：向量的数乘运算及其几何意义 7 新知讲解 问题1 我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和， 并请同学们指出相加后和的长度与方向有什么变化? 这些变化与那些因素有关? 8 新知讲解 B C O A 如图，。 类比数的乘法，我们把 记作 ，即。 显然的方向与的方向相同， 的长度是的长度的倍，即 9 新知讲解 N M Q P 类似的，。 我们把记作 ，即。 显然的方向与的方向相反， 的长度是的长度的倍，即 10 概念生成 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作。 长度： 方向：当时，的方向与的方向相同； 当时， 的方向与的方向相反； 当时， 注：1.向量数乘的结果仍然是向量；所得的向量的方向由与决定； 2.实数和向量可以相乘，但不能相加减 11 新知讲解 问题2 向量数乘运算的几何意义是什么? 因为向量数乘的结果仍然是向量； 所得的向量的方向由与决定； 如图是把向量沿的方向或的反方向伸长或压缩倍。 12 新知讲解 （1）当时，的方向与的方向相同； （2）当时， 的方向与的方向相反； （3）当时， （若， 也成立） 相反向量： ； 零向量： 或 相反向量与零向量的另一种解释方式 13 新知探究 探究二：数乘运算的运算律及其线性运算 14 新知讲解 问题3 数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？ 请同学们以小组的形式用举例子的方式解释下列三个联系，并且能够总结出相应的运算规律。 设，是实数，那么有 （1） (2) (3) 15 概念生成 向量数乘的运算律： 设，是实数，那么有 (1)结合律： (2)分配律：① ② 特别地，我们有 16 新知讲解 向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 向量线性运算的结果仍是向量。 推广：对于任意向量,以及对于任意实数，恒有 17 例题讲解 例5：计算 向量的数乘运算公式 18 例题讲解 例5：如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且, ， 用，表示 A B C D M 向量的拆拆凑凑 解：在中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 19 新知探究 探究3：平面向量共线定理 20 新知讲解 思考2：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 向量的数乘：实数与向量的积是一个向量，记作。 （1）当时，的方向与的方向相同； （2）当时， 的方向与的方向相反； （3）当时， （若， 也成立） 与这两个是共线的 21 新知讲解 实数与向量的积与原向量共线 与这两个是共线的 事实上，对于向量（ ≠ ）， ，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知共线． 反过来，已知向量共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即 ，那么当同方向时，有；当反方向时，有 22 概念生成 向量共线定理： 向量（ ≠ ）共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量， 都存在唯一的一个实数，使． 也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示． 23 例题讲解 例6.如图，已知任意两个非零向量，，试作向量, , ,猜