专题10 数列之放缩法证明不等式-【题型专项突破系列之数列】备战2023年高考数学大题保分专练(全国通用)

专题10 数列之放缩法证明不等式 一、解答题 1.已知数列满足，， （1）求; （2）若数列满足，，求证：． 2.已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，证明：． 3.已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）证明：． 4.已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，证明：． 5．已知函数.把方程的正数解从小到大依次排成一列，得到数列，． （1）求数列的通项公式； （2）记，设数列的前项和为，求证． 6．已知数列的前项和为，，，数列为等差数列. （1）求数列的通项公式 （2）设数列的前项和为，求证：. 7.已知数列中，，其前项和满足：． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有． 8．已知公差不为0的等差数列的首项，前项和为，且，，成等比数列，数列满足：． （1）求数列，的通项公式： （2）设，求证：． 9.已知正项数列满足，. （1）证明：数列是等比数列； （2）证明：. 10.已知数列满足，前项和满足是正项等比数列，且是和的等比中项. （1）求数列和的通项公式； （2）求证：. 11．已知数列满足，. （1）证明：数列是等差数列； （2）令，证明：. 12．已知数列的前n项和为，且满足，. （1）求； （2）证明：对任意的，都有. 13．已知是正项数列的前n项和，满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求证：数列的前n项和. 14．设数列的前项和为，满足，且，，成等差数列． （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）证明：对一切正整数，有． 15．已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，证明：． 16．已知数列满足，，. （1）设，求证：数列是等比数列； （2）设数列的前项和为，求证：，. 17．已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列. （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. （3）若数列满足，求证：. 18．已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 数列之放缩法证明不等式 一、解答题 1.已知数列满足，， （1）求; （2）若数列满足，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【详解】 （1）由题意（）， ∴，也适合． 所以（）； （2）由已知，，， 当时，， 因此， 则 综上，． 2.已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）．（2）见解析 【解析】 （1）当时，，即， 当时，①， ②， ①②，得：，即， ，且， 数列是以每一项均为的常数列，则，即； （2）由（1）得，， . 3.已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）证明：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】 （1）当时，， ，即 从而构成以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）可知，，． 则当时． 故当时 又当时，满足题意，故． 法二：则当时， 那么 又当时，，当时，满足题意. 4.已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）．（2）见解析 【解析】 （1）当时，，即， 当时，①， ②， ①②，得：，即， ，且， 数列是以每一项均为的常数列，则，即； （2）由（1）得，， . 5．已知函数.把方程的正数解从小到大依次排成一列，得到数列，． （1）求数列的通项公式； （2）记，设数列的前项和为，求证． 【答案】（1）；（2）证明见解析； 【分析】 （1）根据正弦函数的性质求出方程的解，依次列出其正数解得前几项，即可得出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果． 【详解】 解：（1）因为，令，即，所以 解得：，所以方程的正数解从小到大依次为、、、、， 所以 （2）记，数列的前项和为， 所以 6．已知数列的前项和为，，，数列为等差数列. （1）求数列的通项公式 （2）设数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由数列为等差数列，可得，，可得：； （2）， 通过放缩裂项相消即可得解. 【详解】 （1）因为数列为等差数列， 所以公差， 从而， 所以. 当时，， 又适合上式，所以. （2）证明：由（1）可知. 因为， 所以 . 因为，所以. 7.已知数列中，，其前项和满足：． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有． 【答案】（Ⅰ