6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示-【高效课堂】2022-2023学年高一数学同步精讲课件（人教A版2019必修第二册）

§6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.2 平面向量基本定理及坐标表示 高中数学人教A版必修第二册 第六章 平面向量及其应用 平面向量的正交分解 平面向量的坐标表示 小结及随堂练习 1 2 3 目录 回顾旧知 如果， 是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的_______向量，_______________实数，，使得 =___________ 1. 平面向量的基本定理 有且只有一对　 若_________，我们把{， }叫做表示这一平面内_______向量的一个基底。. 不共线　 所有　 2. 基底 不共线　 任一　 M N O 平面向量的正交分解 01 PART 探究新知 给定平面内两个不共线的向量，，由平面向量基本定理可知， 平面上的任意向量，均可分解为两个向量，，即， 其中向量与共线，向量与共线。 思考1：作为基底的两向量能否垂直呢？ 如图，光滑斜面上一个木块受到重力的作用，产生两个效果， 一个是平行于斜面的力，一个是垂直于斜面的力 . 叫做重力的分解 类似地，我们可以将这种对力的分解类比到数学中的向量分解. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解 平面向量的正交分解 重力G可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的压力F2. 5 探究新知 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解 平面向量的正交分解 1.正交分解可看成是平面向量基本定理的特例，平面向量的基本定理是把平面内的任意一个向量分解为两个不共线的向量，正交分解则是这两个不共线向量互相垂直的特殊形式； 点拨： 2.正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形，选用相互垂直的基底向量在研究数学问题时更加方便。 思考2：在平面内，如果选取两个互相垂直的向量作为基底去分解向量，我们可以把它放在哪种数学环境中来进行研究呢？ 平面直角坐标系 如何建立向量与平面直角坐标系的联系呢？ 平面向量的坐标表示 02 PART 探究新知 我们知道，在平面直角坐标系中， 每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。 那么，如何表示直角坐标系平面内的一个向量呢？ 设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底。 对于平面内的任意一个向量， 由平面向量基本定理可知， 有且只有一对实数，，使得。 O x y 这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序对叫做向量的坐标，记作。其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，叫做向量的坐标表示。 平面向量的坐标表示 显然，。 理解新知 如图，在直角坐标平面中，以原点O为起点作， 则点A的位置由向量唯一确定。 设， 则向量的坐标就是终点A的坐标； 反过来，终点A的坐标也就是向量的坐标。 因为， 所以终点A的坐标(x,y)就是向量的坐标。 这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系。 点的坐标与向量的关系 O x y 点拨 每个向量都有唯一的坐标，相等的向量具有相同的坐标; 当向量起点在坐标原点时，向量坐标等于其终点的坐标; 理解新知 点的坐标与向量的坐标的联系和区别 联 系 点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向。 向量的坐标仅仅由向量的大小和方向决定，与向量的位置无关 向量中间用“=”连接，而点的坐标中间没有等号。 区 别 当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标 两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同， 若, ,则且 注意 相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同 应用新知 例1.如图,分别用基底表示向量，并求出它们的坐标。 解： 由图可知，， 所以。 同理， ； 。 小结及随堂练习 03 PART 本课小结 随堂练习 1.判断下列说法的正误： (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同． (　　) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标． (　　) (3) 点的坐标与向量的坐标相同． (　　) (4)两向量差的坐标与两向量的顺序无关． (　　) 2.如图，在正方形中，为中心，且 则 课时达标检测8（必做） 预习下一课（选做） 作 业 谢谢观看！ $