6.3.1 平面向量基本定理-【高效课堂】2022-2023学年高一数学同步精讲课件（人教A版2019必修第二册）

§6.3.1 平面向量基本定理 6.2 平面向量基本定理及坐标表示 高中数学人教A版必修第二册 第六章 平面向量及其应用 平面向量基本定理 平面向量基本定理应用 小结与随堂练习 1 2 3 目录 温故知新 1.向量的加法：①三角形法则： ②平行四边形法则： 2.向量的减法： 3.向量的数乘： 4.向量的数量积： 首尾相接，首指向尾 起点相同，对角为和 共起点，连终点，指被减 实数与向量的积是一个向量，记作 向量的线性运算 数量叫做向量的数量积，记作, 其中为向量与共起点时所夹的角。 平面向量基本定理 01 PART 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力（如图①） 反过来，一个力可以分解为两个力（如图②） F1 F2 F E O O E F1 F2 F 我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力𝑭分解为多组大小、方向不同的分力. 由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？ 创设情境 探究新知 问题1： 可以表示平面上任意向量吗？ 向量共线定理 向量（ ≠ ）共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 问题2： 可以表示平面上任意向量吗？ 若 共线 要想用来表示任意向量，首先要保证两个向量不共线，即 探究新知 问题3： （ ）可以表示平面上任意向量吗？ O O 过点做平行于直线的直线，与直线于点 过点做平行于直线的直线，与直线于点 ＋ = 发现：一般地，对给定不共线的向量，任意一个向量都可以表示成λ1+λ2的形式． 探究新知 发现：一般地，对给定不共线的向量，任意一个向量都可以表示成λ1+λ2的形式． 追问2　当是零向量时， 可以表示成λ1+λ2的形式吗？为什么？ 追问1　当是与或共线的非零向量时，a也可以表示成λ1+λ2的形式吗？ 答案：可以， 此时λ1=λ2=0 答案：可以， 此时λ2=0或λ1=0 追问3　平面内任一向量都可以表示成λ1+λ2的形式，这种表示形式是唯一的吗？ 若=，则． 得( λ1－+( λ2 －= ． 则λ1－， λ2 －全为0 即λ1=μ1，λ2=μ2． 假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0， 则 ,由此可得共线， 与已知不共线矛盾． 学习新知 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使. 平面向量基本定理 若，不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 基底 由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便. 学习新知 注意 1.这个定理可以推广为：平面内的任意三个不共线的向量中，任意一个向量都可以表示成，其余两个向量的线性组合，且形式唯一; 2.这个定理告诉我们，平面内任意两个不共线向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则平面内的任意向量都可用该组基底唯一表示; 3.设是平面内一组基底，若， 当时，与共线； 当时与共线， 当时，， 同样的,当时，. 4.对于确定的基底， 同一向量的分解式是唯一的， 不同向量的分解式是不同的， 同一非零向量在不同的基底下分解式是不同的， 零向量的分解式是唯一的。 平面向量基本定理的应用 02 PART 应用新知 例1. (多选)设{}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中， 能作为基底的是（ ）。 A. 和 B. 3和 C. 和2 D. 和 解：因为, ,, 所以ACD三组向量不共线，可以作为基底， 但B选项，不能作为基底． 题型一：平面向量基本定理的理解 ACD 例2.已知向量{}是一个基底，实数，满足，则_____. 解：，解得，则 3 应用新知 例3. 如图，，不共线，且，用，表示。 解：因为， 所以 题型二：用基底表示向量 例4.如图，在中，,P是BN上的一点，若，则实数的值为（ ）。 A. B. C. D. C 应用新知 题型三：平面向量基底的应用 例5.如图，是的中线，用向量方法证明是直角三角形。 证明：如图，设，， 则，，于是. 因为，所以 因为，，所以 因此. 于是是直角三角形. 小结及随堂练习 03 PART 本课小结 随堂练习 A. , B. , C. , D. ,