6.4.1 平面几何中的向量方法（精练）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)

6.4.1 平面几何中的向量方法 【题型1 利用向量证明线段垂直】 1、（2023·全国·高三专题练习）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC. 2、（2021·高一课时练习）如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：. 3、已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且四边形PFCE为矩形．求证：且 4、（2021春·福建泉州·高一泉州五中校考期中）在中，，对任意，有. （1）求角； （2）若，，且、相交于点.求证：. 【题型2 利用向量证明线段平行】 1、设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点 （1）试用向量证明：PQAB； （2）若AB=3CD，求PQ：AB的值. 2、（2021春·云南昆明·高一昆明一中校考期中）若分别是平面四边形的边的中点. （1）求的值； （2）证明：四边形为平行四边形. 3、（2021春·高一课时练习）已知为两个不共线的向量，若四边形满足，，. （1）将用表示； （2）证明：四边形为梯形． 【题型3 利用向量求线段的长度】 1、在中，，点满足，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 2、（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）如图，在中，，，，为边的中点，且，则向量的模为（ ） A． B． C．或 D．或 3、设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是_____. 4、已知四边形是矩形，，，，，，则（ ） A． B． C． D． 【题型4 利用向量求几何夹角】 1、如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为___________. 2、（2022春·山东菏泽·高一统考期末）如图，在中，已知，，，且.求. 3、中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（ ） A． B． C． D． 4、（2021春·重庆·高一校联考期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点. （1）求线段，的长； （2）求的余弦值. 【题型5 利用向量判断多边形形状】 1、（2022·高一单元测试）已知非零向量和满足，且，则为( ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形 2、（2022春·四川凉山·高一宁南中学校考阶段练习）在中，若，则的形状为 （ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法判断 3、（2022春·山西晋中·高一榆次一中校考期中）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 4、（2022春·四川·高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.1 平面几何中的向量方法 【题型1 利用向量证明线段垂直】 1、（2023·全国·高三专题练习）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC. 【答案】证明见解析 【解析】设=，=，=，=，=， 则=+，=+， 所以2﹣2=(+)2-(+)2=2+2e·-2·-2， 由条件知：2=2﹣2+2， 所以·=·，即·(-)=0，即， 所以AD⊥BC. 2、（2021·高一课时练习）如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】因为是的中点，所以. 又因为， 所以 ， 所以，即. 3、已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且四边形PFCE为矩形．求证：且 【答案】见解析 【解析】证明：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线轴，建立平面直角坐标系，如下图所示： 设正方形边长为， 则，，， ， ， ，即 又 ，即 4、（2021春·福建泉州·高一泉州五中校考期中）在中，，对任意，有. （1）求角； （2）若，，且、相交于点.求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）等价于， 等价于，等价于. 所以， 因为，所以，又因为，所以； （2