6.4.1 平面几何中的向量方法（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)

6.4.1 平面几何中的向量方法 重点：用向量知识解决一些简单的平面几何问题的方法和步骤； 难点：选择恰当的方法，将几何问题转化为向量问题。 一、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 二、利用向量证明平面几何的两种经典方法及步骤： 1、线性运算法 （1）选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； （2）利用基底表示相关向量； （3）利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； （4）把计算结果“翻译”为几何问题。 2、坐标运算法 （1）建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； （2）把相关向量坐标化； （3）用向量的坐标运算找到相应关系； （4）利用向量关系回答几何问题。 二、平面几何中证明问题的具体转化方法 1、证明线段，可转化为证明； 2、证明线段，只需证明存在一个实数，使成立； 3、证明两线段，只需证明数量积； 4、证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。 题型一 利用向量证明线段垂直 【例1】（2022·高二课时练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，. （1）用表示； （2）如果，用向量的方法证明：. 【变式1-1】（2021·高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：． 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 【变式1-3】（2022·高二课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：. 题型二 利用向量证明线段平行 【例2】在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 【变式2-1】（2021春·高一课时练习）如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：． 【变式2-2】（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形． 题型三 利用向量求线段长度 【例3】（2022春·辽宁锦州·高一统考期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（ ） A． B．3 C． D． 【变式3-2】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【变式3-3】（2022春·陕西西安·高一长安一中校考期中）在平面上，，.若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型四 利用向量求几何夹角 【例4】已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知H为的垂心，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（ ） A． B． C． D． 题型五 利用向量判断多边形形状 【例5】（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知非零向量，满足，且，则为（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式5-1】（2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）满足的△ABC（ ） A．一定为锐角三角形 B．一定为直角三角形 C．一定为钝角三角形 D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形 【变式5-2】（2022春·陕西西安·高一校考阶段练习）在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式5-3】（2022春·宁夏银川·高一银川一中校考期中）在四边形中，若，则四边形为（ ） A．正方形 B．矩形 C