专项42 阿氏圆-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项42 阿氏圆 阿氏圆问题 问题：求解“”类加权线段和最小值 方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值 ②造：根据线段比，构造母子型相似 ③算：根据母子型结论，计算定点位置 ④转：“”转化为“”问题 关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数 ②系数小于1：内部构造母子型 ③系数大于1：外部构造母子型 【典例分析】 【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似． 【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值． 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k； 第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值． 下面是该题的解答过程（部分）： 解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k， 又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP． 任务： （1）将以上解答过程补充完整． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为 　 　． 【典例2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为 　 　． 【变式2-1】如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 　 　． 【变式2-2】如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，连接CD，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF＝2CF，连接BF． （1）如图①，当θ＝60°时，求EF的长； （2）如图②，连接AF，求BF+AF的最小值． 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（　　） A． B．6 C．2 D．4 2．如图，在正方形ABCD中．AB＝8，点P是正方形ABCD内部的一点，且满足BP＝4，则PD+PC的最小值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A是OC中点，OB＝2，点P是为CD上一点，则PB+2PA的最小值为 　 　． 4．【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆” 【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为 　 　． 5．如图①，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F为AD边上的两点，且AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接AG交BE于点H． （1）求证：AG⊥BE； （2）如图②，点M为DC的中点，连接DH，M，求DH+HM的最小值； （3）连接BM，当点E与点F重合时，求tan∠EBM的值． 网版权所有 6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C，⊙O与x轴交于点E（2，0），点P是⊙O上一点，连接CP，BP，求BP+CP的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项42 阿氏圆 阿氏圆问题 问题：求解“”类加权线段和最小值 方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值 ②造：根据线段比，构造母子型相似 ③算：根据母子型结论，计算定点位置 ④转：“”转化为“”问题 关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数 ②系数小于1：内部构造母子型 ③系数大于1：外部构造母子型 【典例分析】 【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似． 【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值． 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝