专项37 切线的判定与性质的综合应用-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项37 切线的判定与性质的综合应用 【类型一： 有公共点：连半径，证垂直】 【典例1】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值． 【变式1-1】（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长． 【变式1-2】（2021秋•温岭市期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC＝8，CD＝12，求半径的长度． 【典例2】（2020•中宁县一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若PD＝1，求⊙O的直径． 【变式2-1】（2021秋•甘井子区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径． 【变式2-2】（2021秋•天津期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC 于E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝10，AC＝6，求ED的长． 【典例3】（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD， （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径． 【变式3-1】（2021秋•金湖县期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交⊙O于B，连接AD、AB，AB是⊙O的切线． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若⊙O的半径为4，AB＝8，求平行四边形OAEC的面积． 【类型一： 没有公共点：作垂直，证半径】 【典例4】（2020•八步区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【变式4-1】（2021秋•莆田期末）如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD． （1）求证：CD是半圆O的切线． （2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长． 1．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）求证：AB＝AM； （3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长． 2．（2022•八步区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC＝AB，⊙O与BC交于点D，DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠B＝30°，AB＝6，△ABC的面积． 3．（2022•扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若sinA＝，OA＝8，求CB的长． 4．（2022•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE＝2CE，求的值． 5．（2022•宝鸡模拟）如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若AB＝4，BC＝2，求BE的长． 6．（2022•陇西县校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若BC＝6，tanB＝，求DE的长． 7．（2022秋•白云区期末）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C为⊙O上的一点，∠A＝25°，∠D＝40°． （1）求∠DOC的度数． （2）求证：DC是⊙O的切线． 8．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD， （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）当BC＝10，AD＝4时，求