专项45 四点共圆-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项45 四点共圆 1.四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”． 2．四点共圆的性质 (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等． (2)圆内接四边形的对角互补． (3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角． 3．四点共圆的判定 (1)用“角”判定： ①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上； ②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上； ③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上． (2)“等线段”判定： 四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆． (3)用“比例线段”判定： 若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点共圆. 模型解读： 模型1：对角互补型： 若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º, 则A、B、C、D四点共圆 模型2：同侧等角型 （1）若∠A=∠C, 则A、B、C、D四点共圆 （2）手拉手(双子型)中的四点共圆 条件：△OCD∽△OAB 结论：①△OAC∽△OBD ②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB； ③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆. 模型3：直径是圆中最长的弦 1.定圆中最长的弦是直径； 2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦； 3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。 【模型1：对角互补型】 【典例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点. 【变式1】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。 【模型2：同侧等角型】 【典例2】在Rt△ABC中,∠ACB=90º,将△ABC绕点A顺时针旋转αº (0＜α＜180)得△ADE,∠AED=90º,直线BD与直线CE的交点为P. 求证：PB=PD 【模型3：直径是圆中最长的弦】 【典例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作 OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为? 【变式3】如图,在⊙O中,直径AB=12,点D是圆上任意一点(A,B除外),点P为CD的中点,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,EP.求EP的最大值。 【随堂精练】 1．（2021秋•永泰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上． （1）求∠BAD的度数； （2）求证：A，D，B，E四点共圆． 2．如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，请计算这块规划用地的最大面积． 3．如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值． 1．（2021秋•渝北区期末）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为80°，则∠ADC度数为（　　） A．80° B．40° C．100° D．160° 2．（2021秋•滨湖区期中）如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（　　） A．4 B．8 C．10 D．6 3．（2022•靖江市二模）如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为 　 　． 4．如图，△ABC和△BCD均为直角三角形，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝2，连接AD．若∠ADB＝30°，则AC的长为 　 　． 5．如图，在四边形ABCD中，BD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD面积的最大值为　　． 6．如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，则AD的最大值为 　 　． 7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E，F分别为AB，AC边上的点，且∠EDF＝90°，连接EF，则∠DEF的度数为　　． 8．（2022秋•萧山区月考）如图，以C为公共顶点的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且点D在线段AB上，则∠ABE＝　30°　，若AC＝10，CD＝9，则BE＝　 　． 9．（2021秋•宽城区期末）【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角