第五章 一元函数的导数及其应用单元检测-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用单元检测 一、单选题 1．函数在区间上的平均变化率等于（    ） A． B．1 C．2 D． 2．已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　） A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s 3．已知为奇函数，当x＜0时，，则曲线在点处的切线斜率是（    ） A．－2 B．2 C．－e D． 4．过点可以作曲线的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 5．在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数及其导函数的定义域均R，若为偶函数，且满足，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 7．已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．设函数是定义在上的可导函数,且满足,其中为的导函数.则对于任意,必有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若当，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．曲线上点处的切线斜率为 D．曲线上点处的切线斜率为 10．已知函数，则（    ） A．的值域为 B．直线是曲线的一条切线 C．图象的对称中心为 D．方程有三个实数根 11．在下列函数中，求导正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 12．定义在上的函数满足，（若，则，为常数），则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值，极小值为 B．只有一个零点 C．若在上恒成立，则 D． 三、填空题 13．若，则______． 14．若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数__________. 15．设函数，则下列命题中是真命题的是___________.（写出所有真命题的序号） ①是偶函数； ②在单调递减； ③相邻两个零点之间的距离为； ④在上有2个极大值点 16．已知函数，设，对任意且，有恒成立，则的范围为__________. 四、解答题 17．一个质点沿直线运动，运动方程为，其中t的单位为s，s的单位为m． (1)计算内的平均速度v； (2)求当t＝0，1，2，3s时的瞬时速度； (3)求t＝1s到3s的平均加速度a． 18．已知函数. (1)当时，求在点的切线方程； (2)若曲线有两条过点的切线，求的取值范围. 19．求下列函数的导数． (1)，； (2)，． 20．已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线. (1)求的值； (2)求公切线所在的直线方程； (3)若抛物线上的点M到直线的距离最短，求点M的坐标和最短距离. 21．函数，. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 22．设函数，其中． (1)求证：函数有两个不同的极值点、； (2)对（1）中的极值点、，若不等式成立，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．C 2．D 3．B 4．D 5．B 6．C 7．A 8．C 9．AD 10．BD 11．BC 12．BCD 13．2 14． 15．①②③④ 16． 17.(1)在t到t＋Δt的时间内，质点的平均速度为. (2)当Δt无限趋近于0时，无限趋近于8－8t，所以ts时质点的瞬时速度为(8－8t) m/s. t＝0s时的瞬时速度为8 m/s， t＝1s时的瞬时速度为0 m/s， t＝2s时的瞬时速度为－8 m/s， t＝3s时的瞬时速度为－16 m/s. (3)m/s2. 18．（1）当时，切点为 ，切线斜率 切线方程为，即 （2）设切点为，由知： ， 整理得① 因为过点的切线有两条， 所以①式有两个不等实根 所以有， 即 19．(1) (2)． 20．（1）解：根据题意可知， 将分别代入两曲线方程得到，． 两个函数的导函数分别是， 又，，则，解得，，． （2）由（1）知，；当时，，故切线方程为，即． 由（1）知，，当时，，故切线方程为， 即． 综上所述，公切线所在的直线方程为． （3）要使抛物线上的点M到直线的距离最短，则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线相同，则， 解得，又因为点M在抛物线上，解得． 所以最短距离即d为点M到直线的距离， 代入点到直线的距离公式得．即最短距离为． 21．（1）因为，所以， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是， 故在处取得极大值，无极小值； （2）因为时，，即， 故， 令， 故时，恒成立，故，即（必要性）， 当时，因为，， 因为，又由，由（1）知，， 故，故时，恒成立（充分性）， 即时，恒成立， 综上所述