第6章 计数原理 章末小结与质量评价(Word练习)-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效地将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键，并且分类科学、标准统一、不重复、不遗漏，体现出分类与整合的思想． 2．在排列组合的有关问题中，首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题，在排列组合的综合问题中，若直接解决比较困难时，可进行反面考虑，通过排除，即可使诸多较为复杂的问题简单化，体现了正难则反的思想方法． 3．化归与转化的思想是指在解决问题的过程中，通过某种转化，把待解决或难解决的问题归结为一类已解决或易解决的问题．在解决排列、组合问题，特别是“至多”“至少”问题时，可以转化为从其反面考虑，用间接法求解．在与二项式定理有关的问题中，主要是多项式转化为二项式求解． 二、把握重点·常考题型集训 题型一　两个计数原理的应用　 1．甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到A，B，C三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表： 交通路口 A B C 志愿者 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁 这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求A，B，C三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有(　 ) A．14种 B．11种 C．8种 D．5种 解析：选B　由题意得，以C路口为分类标准：C路口执勤分得人数情况有2种，两个人或一个人． 若C路口执勤分得人数为2个，则丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在A、B路口执勤； 若C路口执勤分得人数为1个，丙或丁在C路口，具体情况如下： 丙在C路口：A(丁)B(甲、乙)C(丙)；A(甲、丁)B(乙)C(丙)；A(乙、丁)B(甲)C(丙)． 丁在C路口：A(甲、乙)B(丙)C(丁)；A(丙)B(甲、乙)C(丁)；A(甲、丙)B(乙)C(丁)；A(乙)B(甲、丙)C(丁)；A(乙、丙)B(甲)C(丁)；A(甲)B(乙、丙)C(丁)． 所以一共有2＋3＋6＝11种安排方法． 2．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为(　 ) A．5 B．24 C．32 D．64 解析：选D　5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8(种)， 第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4(种)． 第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4(种)，共计4＋4＝8(种)， 根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数共有 8×8＝64. 3．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆的个数是________． 解析：以m的值为标准分类，分五类： 第1类，当m＝1时，使n>m，n有6种选择； 第2类，当m＝2时，使n>m，n有5种选择； 第3类，当m＝3时，使n>m，n有4种选择； 第4类，当m＝4时，使n>m，n有3种选择； 第5类，当m＝5时，使n>m，n有2种选择． 所以一共可以表示6＋5＋4＋3＋2＝20(个)焦点在y轴上的椭圆． 答案：20 使用两个原理解决问题时应注意的问题 对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．　　 题型二　排列、组合问题　 4．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是(　 ) A．每人都安排一项工作的不同方法数为54 B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为AC C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(CC＋CC)A D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是CCA＋CA 解析：选D　每人都安排一项工作的不同方法数为45，即选项A错误； 每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为CA，即选项B错误； 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方