8.2.1&8.2.2 一元线性回归模型 一元线性回归模型参数的最小二乘估计(Word教参)-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

8．2.1&8.2.2　一元线性回归模型 　一元线性回归模型参数的最小二乘估计 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解模型参数的统计意义． 2．了解最小二乘原理． 3．掌握求一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法． 4．理解残差分析的原理和方法． 5．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 重点 难点 重点：一元线性经验回归方程的建立及应用． 难点：经验回归方程的应用. (一)一元线性回归模型 把式子称为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述． (多选)下列说法正确的是(　 ) A．在回归模型中，变量间的关系是非确定性关系，因变量不能由自变量唯一确定 B．在函数模型中，变量间的关系是确定性关系，因变量由自变量唯一确定 C．在回归模型中，变量x和y都是普通变量 D．在回归模型中，斜率参数b可能是正的也可能是负的 解析：选ABD　在回归模型中，x是解释变量，y是响应变量，当解释变量取值一定时，响应变量的取值带有一定的随机性． (二)一元线性回归模型的最小二乘估计 1．经验回归直线 如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，将公式＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线． 2．最小二乘估计 求经验回归方程时，使得各个散点到经验回归直线的竖直距离的平方之和最小的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． ＝＝， ＝－，其中称为回归系数，实际上也就是经验回归方程的斜率；指的是所有解释变量的平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)，＝(y1＋y2＋…＋yn)． 3．经验回归方程的性质 (1)经验回归直线一定过样本点中心(，)； (2)y与x正相关的充要条件是>0，y与x负相关的充要条件是<0； (3)当x增大一个单位时，增大个单位，这就是回归系数的实际意义． 1．设有一个经验回归方程为＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时(　 ) A．y平均增加1.5个单位 B．y平均增加2个单位 C．y平均减少1.5个单位 D．y平均减少2个单位 答案：C 2．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)关于年龄(单位：岁)的经验回归方程＝7.19x＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是(　 ) A．身高一定为145.83 cm B．身高大于145.83 cm C．身高小于145.83 cm D．身高在145.83 cm左右 答案：D (三)残差分析 1．残差 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估计值为i＝yi－i＝yi－xi－，i＝1,2，…，n，i称为相应于点(xi，yi)的残差． 2．残差图 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图． 3．残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 4．决定系数R2 可以用R2来刻画回归的效果(或比较两个模型的拟合效果)，其计算公式为R2＝1－. 在R2表达式中，(yi－)2与经验回归方程无关，残差平方和(yi－i)2与经验回归方程有关．因此R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差． 1．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批该产品测得如下数据：已知该产品的色差和色度之间满足线性相关关系，且＝0.25x＋，现有一对观测数据为(32,21.25)，则该组数据的残差(观测值与预测值的差)为(　 ) 色差x 21 23 25 27 29 31 色度y 15 16 17 21 22 23 A．0.65 B．0.75 C．－0.75 D．0.95 解析：选B　样本中心点坐标为(26,19)，代入经验回归方程得到＝12.5，所以＝0.25x＋12.5，将x＝32代入，求解得到对应的预测值为20.5，因而其残差为21.25－20.5＝0.75. 2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并分别求得相关系数r与残差平方和m如表： 甲 乙