6.3.1 二项式定理(Word教参)-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

6．3.1　二项式定理 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 重点 难点 重点：用计数原理分析(a＋b)n的展开式，得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开式，用两个计数原理证明二项式定理. 二项式定理 概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*叫做二项式定理 (a＋b)n的二项展开式 Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn 二项式系数 展开式中各项的系数C(k＝0,1,2，…，n) 通项 展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk 备注 在二项式定理中，若设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn. 1．二项展开式的特点 (1)项数：有n＋1项； (2)次数：各项的次数都等于二项式的次数n. (3)顺序：字母a按降幂排列，次数由n减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n； (4)系数：二项展开式中，二项式系数为C(k＝0，1，…，n)，这是一组仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，而与a，b无关． 2．二项展开式通项的理解 (1)它是(a＋b)n展开式的第k＋1项，其中k＝0,1,2，…，n； (2)字母a，b是一种“符号”，实际上它可以是数或式，只要是二项式的形式，就可以用二项式定理写出展开式及其通项； (3)展开式是对(a＋b)n这个标准形式而言的，还可以对式子进行变形，例如，对于(b－a)n，可转化为(－a＋b)n，有Tk＋1＝(－1)n－kCan－kbk； (4)二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． (5)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是不同的，(a＋b)n展开式中第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cbn－kak. 1．1＋3x＋3x2＋x3＝(　 ) A．(x＋1)3 B．(x－1)3 C．(x＋1)4 D．x4 解析：选A　由题以及二项式定理可知1＋3x＋3x2＋x3＝C·13·x0＋C·12·x1＋C·11·x2＋C·10·x3＝(1＋x)3＝(x＋1)3. 2．已知5的展开式中含x的项的系数为(　 ) A．30 B．－30 C．25 D．－25 解析：选A　5展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C()5－r·r＝C·6rx(r＝0,1,2，…，5)，令＝，得r＝1，故展开式中含x的项的系数为C·61＝30. 3．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1＝________. 解析：原式＝[(x－1)＋1]5＝x5. 答案：x5 ———————————————————————————————————— 二项式定理的正用、逆用 ———————————————————————————————————————— [典例]　(1)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1＝________. (2)已知0<p<1. ①写出[p＋(1－p)]n的展开式； ②化简：Cp3＋Cp2(1－p)＋Cp(1－p)2＋C(1－p)3. [解析]　(1)原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. [答案]　32x5 (2)①由0<p<1，得0<1－p<1，所以[p＋(1－p)]n＝Cpn＋Cpn－1(1－p)＋Cpn－2(1－p)2＋…＋Cp(1－p)n－1＋C(1－p)n. ②二项式定理逆向使用，将展开式进行合并， 原式＝[p＋(1－p)]3＝(p＋1－p)3＝13＝1. 二项展开式的注意问题 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．　　 [对点训练] 1．化简：16－32x＋24x2－8x3＋x4＝(　 ) A．x4 B．(2－x)4 C．(2＋x)4 D．(1－2x)4 解析：选B　16－32x＋24x2－8x3＋x4＝C24＋C23(－x)＋C22(－x)2＋C2(－x)3＋C(－x)4＝(2－x)4. 2．化简下列各式：