6.1 第一课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(Word教参)-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

　 　6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第一课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题． 重点难点 重点：会用计数原理解决实际计数问题． 难点：正确理解“完成一件事”的含义，正确区分“分类”和“分步”. (一)分类加法计数原理 (1)分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案”，是指完成这件事的所有方案可以分为两类，即任何一类方案中的任何一种方法都可以完成任务，两类方案中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类方案中． (2)分类时要根据问题的特点确定一个分类标准，即分类要按同一个标准，然后在这个标准下进行分类，一般地，标准不同，分类的结果也不同． (3)分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于且只能属于某一类方案，即“不重不漏”，如下所示． 1．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　 ) A．4种 B．6种 C．10种 D．16种 解析：选B　分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)． 同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式． 由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6种传递方式． 2．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________． 解析：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数． 答案：36 (二)分步乘法计数原理 (1)分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法都要分成两个步骤，任取一种方法，相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事． (2)分步时，要根据问题的特点确定分步标准，标准不同，分成的步骤数也会不同． (3)合理的步骤应当满足：①完成这件事情必须连续做完所有步骤，即分别从各个步骤中选一种完成该步骤的方法，将各步骤中所选方法依次完成就得到完成这件事情的一种方法；②完成任何一个步骤可选用的方法与其他步骤所选用的方法无关． 简而言之，就是应用分步乘法计数原理时要做到“步骤完整”． 1．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有(　 ) A．12种　　　　　　　 B．7种 C．14种 D．49种 解析：选D　由题意知，某人从体育场进门有7种方式，出门有7种方式，根据分步乘法计数原理可知他进、出门的方案有7×7＝49种． 2．书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从第1,2,3层分别各取1本书，则不同的取法种数为________． 解析：由分步乘法计数原理，从1,2,3层分别各取1本书，不同的取法种数共有4×5×6＝120. 答案：120 3．把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有________种． 解析：每封信都有3种不同的投法，由分步乘法计数原理可得，4封信共有3×3×3×3＝34＝81种投法． 答案：81 ———————————————————————————————————— 分类加法计数原理 ———————————————————————————————————————— [典例]　(1)用1,3,5,7中的任意一个数作分子，2,4,8,9中的任意一个数作分母，则可构成真分数的个数为　　　　　　(　 ) A．8 B．9 C．10 D．11 (2)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________. [解析]　(1)分四类：①当分子为1时，有，，，，共4个真分数；②当分子为3时，有，，＝，共3个真分数；③当分子为5时，有，，共2个真分数；④当分子为7时，有，，共2个真分数．根据分类加法计数原理知，可构成4＋3＋2＋2＝11个真分数．故选D. (2)当a＝0时，b的值可以是－1,0,1,2，故有序数对(a，b)的个数为4； 当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1. 若a＝－1，则b的值可以是－1,0,1,2，有序数对(a，b)的个数为4； 若a＝1，则b的值可以是－1,0,1，有序数对(a，b)的个数为3； 若a＝2，则b的值可以是－1,0，有序数对(a，b)的个数为2. 由分类加法计数原理可知，有序数对(a，b)的个数为4＋4＋3