3.2.2 双曲线的简单几何性质课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 标准方程 图 形 焦点坐标 双曲线定义 a、b、c 的关系 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹． 复习回顾 c2＝a2＋b2 思考：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 范围、对称性、顶点、离心率… 利用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质 以 (a＞0，b＞0)为例 1．范围 a -a O x F1 F2 y 于是双曲线上的点都满足不等式, 由双曲线的标准方程可知， 即, 所以或 双曲线在不等式所表示的区域内． 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 y O x F1 F2 2．对称性 从图形上看：双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 ① 轴 ② 轴 ③ 原点 双曲线关于x轴、y轴和原点对称.坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 从方程上看： 3．顶点 观察双曲线，你觉得有哪些比较特殊的点？ 双曲线与x轴的交点： 双曲线与y轴的交点： y O x A1 A2 F1 F2 y=b y=-b B2 B1 令 令得， 方程无实数根，则双曲线与y轴无交点. 双曲线的两个顶点坐标为， 双曲线的实轴： 双曲线的虚轴： 双曲线的焦距： 为实半轴长； 为虚半轴长； 为半焦距. 4．渐近线 活动：利用信息技术画出双曲线 和两条直线 .在双曲线的右支上取一点 ,测量点 的横坐标 以及它到直线 的距离 .沿曲线向右上方拖动点 ，观察 与 的大小关系，你发现了什么？ 4．渐近线 经过, 作轴的平行线 ，经过, 作 轴的平行线，四条直线围成一个矩形 (如图)． y O x A1 A2 B2 B1 F1 F2 a b 叫做双曲线的渐近线. 两条直线： 图像特征：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交. 4．渐近线 (a＞0, b＞0)的渐近线为 y O x A1 A2 B2 B1 a b F1 F2 4．渐近线 这时双曲线方程为x2－y2＝a2，实轴长和虚轴长都为，渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角． 当a＝b时，实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫等轴双曲线. 利用渐近线画双曲线草图 ⑴ 画出双曲线的渐近线； ⑵ 画出双曲线的顶点、第一象限内双曲线的大致图象； ⑶ 利用双曲线的对称性画出完整双曲线. 6．通径 双曲线的焦距与实轴长的比 ， 叫做双曲线的离心率． 因为 c ＞a＞0， 所以e＞1． 双曲线的离心率刻画了什么几何特征呢？ 双曲线的离心率越大，它的张口就越大． 5．离心率 F1 F2 x y O A B 通径 例3 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 范围 对称性 顶点 轴长 渐近线 离心率 （） （） 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 实轴长为，虚轴长为 直线 直线 （） 例4 双曲线冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m，试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）. 解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的平面直角坐标系Oxy,使小圆的直径AA’在x轴上，圆心与原点重合. 设双曲线的方程为 因此所求曲线方程为 得19b2+275b-18150=0 ，解得b≈25 由方程②，得 代入方程①并化简 所以 C(13,y),B(25,y-55) M x y O H F d 例5 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数,求点的轨迹. 例6 如图所示，过双曲线的右焦点,倾斜角为30°的直线交双曲线于两点，求||. F1 F2 x y O A B $