3.2.1双曲线及其标准方程课件-2022-2023学年上学期高二数学人教Ａ版(2019)选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 一、复习引入 椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数　　　　　　　（大于|F1F2|）的点的轨迹． 平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是？ 思考 二、新知探究 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 符号表达： | |MF1|-|MF2| | = 2a <|F1F2 | 记作 记作 双曲线的一支 两条射线 (1)平面内与两定点, 的距离的差等于非零常数(小于||)的点的轨迹是什么？ (4)若常数,轨迹是什么? 线段的垂直平分线 (2)若常数轨迹是什么？ 轨迹不存在 (3)若常数轨迹是什么？ 定义辨析 | |MF1|-|MF2| | = 2a <|F1F2 | 类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 探索： 焦点在 y 轴上的椭圆标准方程： 焦点在 x 轴上的椭圆标准方程： 设点 建系 列式 化简、检验． 求椭圆标准方程的过程： 双曲线标准方程的推导 建立如图所示的平面直角坐标系Oxy． 设 M ( x ，y )是双曲线上任意一点， 双曲线的焦距为 2c（ c > 0)， 则有F1（ -c，0），F2 ( c，0). 又设||MF1|-|MF2||= 2a( a 为大于 0 的常数)． 由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合： ① 两边平方，整理得： 双曲线上任意一点的坐标（x，y）都是方程②的解； 以方程②的解为坐标的点（x，y）与双曲线的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0）的距离之差的绝对值都为2a， ② 即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上． 我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程. 它表示焦点在 x 轴上，两个焦点分别是 F1（- c，0），F2（c，0） 的双曲线，这里 ② 思考 如图，双曲线的焦距为 2c ，焦点分别是 F1（0 ，-c），F2（0 ，c）．a ，b 的意义同上， 这时双曲线的方程是 焦点在 y 轴上的双曲线标准方程： 焦点在 x 轴上的双曲线标准方程： 双曲线标准方程的特点： 1．焦点位置： 2．双曲线标准方程中的a，b没有大小关系，c最大，这与椭圆方程不同 ． 焦点跟着正项走； 椭圆及其标准方程 双曲线及其标准方程 定义： 定义： 三、典例解析 探索 如图设 A，B 两点的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 ，试求点M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1 例 3 比较，你有什么发现？ 解：设点M 的坐标为（x，y），因为点A的坐标为（- 5，0）， 所以直线 AM 的斜率 由已知，有 同理，直线 BM 的斜率 所以点M 的轨迹是除去（-5，0），（5，0）两点的双曲线. 化简，得点M 的轨迹方程为 归 纳 总 结 标准方程 图 形 焦点坐标 双曲线定义 a、b、c 的关系 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹． $