2.5.1直线与圆的位置关系 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 情景导学 “大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象． 从日落这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢？它们有哪些位置关系呢？ (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 直线与圆的有三种位置关系: 课本91页例1 已知直线：和圆心为C的圆 +，判断直线与圆C的位置关系；如果相交，求被圆C所截得的弦长． 判断直线与圆的位置关系 思路二 ：可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，由勾股定理求弦长. 思路一 ：判断直线𝑙与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，求交点坐标，利用两点间的距离公式可求弦长. 已知直线：和圆心为C的圆 +，判断直线与圆C的位置关系；如果相交，求被圆C所截得的弦长． 判断直线与圆的位置关系 解法一：由直线 l 与圆的方程，得： 消去y，得： 因为： = 1 > 0 所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点． 所以，直线 l 与圆的两个交点是： 把 代入方程①，得 ； 把 代入方程① ，得 ． A（2，0），B（1，3） 由 ，解得： 已知直线：和圆心为C的圆 +，判断直线与圆C的位置关系；如果相交，求被圆C所截得的弦长． 判断直线与圆的位置关系 解法二：圆 可化为 其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 ， 点C （0，1）到直线 l 的距离 所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点． 两种方法有何优缺点？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 图形 公共点个数 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ ____ ____ ____ 代数法： 消元得到一元二次方程的判别式Δ ____ ____ ____ d<r d＝r d>r Δ>0 Δ＝0 Δ<0 由 2个 1个 0个 (1)几何法:如图,直线与圆交于两点,设弦心距为d,圆的半径为r，弦长为|AB|，则有,即 (2)代数法：联立方程组求交点坐标 求直线与圆相交时弦长的两种方法 过点 作圆的切线,求切线的方程. 课本92页例2 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 图形 公共点个数 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ ____ ____ ____ 代数法： 消元得到一元二次方程的判别式Δ ____ ____ ____ d<r d＝r d>r Δ>0 Δ＝0 Δ<0 由 2个 1个 0个 (1)几何法:如图,直线与圆交于两点,设弦心距为d,圆的半径为r，弦长为|AB|，则有,即 (2)代数法：联立方程组求交点坐标 求直线与圆相交时弦长的两种方法 求过一点P的圆的切线方程问题需注意： 1.先判断点P与圆的位置关系 若点P在圆上，切线有一条 若点P在圆外，切线有两条 2.在求切线的过程中，要注意讨论斜率不存在的情况. 先定位，再定量 解惑提高 求法 （1）几何法：利用求直线斜率； （2）代数法：利用求直线斜率. 典型例题 直线与圆的方程在实际生活中的应用 课本93页例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）. A B A1 A2 A3 A4 O P P2 x y 解：建立如图所示的直角坐标系， 使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上，则点P（0,4),B(10,0) 设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r， 那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2 . 因为P,B两点都在圆上，所以得方程组 解得b=－10.5, r2=14.52所以,圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52 思考1:你能用代数法(坐标法)求支柱A2P2的高度吗？ 令，解得 在直角三角形AOC中，有 设圆拱所在圆C的半径长是r，则有 解得： 我们求出 即可，而 所以