1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（2）课件—2022-2023学年高二上学期数学人教Ａ版(2019)选择性必修第一册

用空间向量研究距离、夹角问题（2） 号，英文省略号为…） 1 例7 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中， ， 分别为 ，的中点． 求直线 与夹角的余弦值. 2 分析： 直线与夹角 向量与的夹角 求直线与夹角的余弦值 方法1 选择空间的一个基底 方法2 建立空间直角坐标系 如何表示向量，使我们方便地计算它们的夹角？ 3 向量法 解：以{，}基底，则 设向量与的夹角为， 则直线与夹角的余弦值等于. 4 又因为和均为等边三角形， 所以 所以直线夹角的 余弦值等于 5 坐标法 取中点，过作⊥平面， 以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 6 问题1 如何用空间向量求两条直线的夹角？ ’ 从高维向低维转化的思想 两条直线夹角的取值范围是什么？ 7 两条直线的夹角与它们方向向量的夹角有什么关系？ 8 问题2 如何用空间向量求直线与平面所成的角？ 直线与平面所成角的取值范围？ // ⟹ 是的斜线 l l l 9 A B C 直线与平面所成的角有什么关系？ B C 10 二面角的大小用它的平面角来度量. α β l 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角． α β l 二面角的大小是如何度量的？ 二面角的平面角是如何定义的？ 11 α β 两个平面夹角的取值范围是什么？ 两个平面夹角与这两个平面形成的二面角有何关系？ 平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角. α β l α β l 问题3 如何用空间向量求平面与平面所成的角？ 13 角的类型 角的取值范围 方向向量与法向量 与向量夹角的关系 两直线的夹角 两直线的方向向量分别为 直线与平面所成角 直线的方向向量分别为平面的法向量为 平面与平面所成角 两平面的法向量分别为, 14 例8 如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，， ．求平面与平面夹角的余弦值. 15 解：以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角． 求平面与平面夹角的余弦值； 因为平面， 因为，，， 所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为 又 所以 所以， ． 取 (3，4，2), 16 用空间向量求平面与平面的夹角的步骤与方法： 例题小结 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求平面，的法向量，的夹角 ③平面与平面夹角的余弦值 17 $