1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系课件——2022-2023学年高二上学期数学人教Ａ版(2019)选择性必修第一册

1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 1 1. 空间中点、直线和平面的向量表示 2 P o 问题1：如何用向量表示空间中的一个点P ？ 在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量. 3 A 取 对直线 l 上任意一点P， 点P在直线 l 上的充要条件是 存在实数 t, 使得 即 问题2：如何用向量表示空间中的直线 l ？ a l P B 取定空间中任一点O，有 即 ① ② a l P B A O 设是直线的方向向量 4 空间直线的向量表示 都称为空间直线的向量表示式. 空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量a唯一确定. 点A和向量a不仅能确定直线 l 的位置，还可以表示出直线 l 上的任意一点. 5 点O与向量a，b不仅可以确定平面，还可以具体表示出 内的任意一点. 问题3：如何用向量表示空间中的平面 ？ b P O a 设两条直线相交于点，它们的方向向量为，，为平面内的任意一点， 由平面向量基本定理可知， 存在唯一的有序实数对，使得= + . 6 如下图，取定空间任意一点 O ，可以得到，空间一点 P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使 . 上式称为空间平面 ABC 的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 问题3：如何用向量表示空间中的平面 ？ 7 平面的法向量 给定空间一点和一条直线则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的.由此可以利用点和直线的方向向量来确定平面. 如下图，直线 .取直线的方向向量，我们称向量 为平面的法向量.给定一个点和一个向量那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 . 8 因为 ，所以 l // m.所以 a // b. 所以 使得 l a 追问：如果另有一条直线，在直线m上任取向量b，b与a有什么关系？ m b 所以 所以，平面可以由平面内一点和任意法向量唯一确定. 9 例1 在长方体 中, AB=4，BC=3, =2, M是AB的中点.以D为原点, DA, DC, 所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求直线CD 的方向向量； （2）求平面 的法向量； （3）求平面 的法向量. 10 D(0, 0, 0), C(0, 4, 0), 所以直线CD的方向向量是 解：（1）依题意可知, 追问：直线CD还有其他的方向向量吗？ 共线向量 11 （2）求平面 的法向量； 解： 因为 面 . 所以平面 的一个法向量是 例 追问：平面 还有其他的法向量吗？ 12 （2）求平面 的法向量； 解： 例 共线向量 追问：平面 还有其他的法向量吗？ 13 （3）求平面 的法向量； 解： 所以M(3,2,0), C(0,4,0), A1(3,0,2). 所以 设 是平面 的 法向量， 则 （3）因为AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点, 例 14 （3）求平面 的法向量； 解： 取z =3, 则x=2, y=3. 于是 是平面 的一个法向量. 例 （3）所以 所以 15 求平面的法向量的步骤： （1）设平面的法向量 ； （2）找出（求出）平面内两个不共线的向量的坐标 ； （3）根据法向量的定义建立关于x, y, z的方程组 （4）解方程组, 取其中一组解, 即得法向量. 例题小结 16 向量名称 图 示 求 法 直线的方向向量 平面的法向量 直线的方向向量和平面的法向量的求法 例题小结 ① 设的法向量；② 求内的不共线向量；③ 列