1.3 空间向量及其运算的坐标表示课件—2022-2023学年高二上学期数学人教Ａ版(2019)选择性必修第一册

1.3.1 空间直角坐标系 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1 复习回顾——平面直角坐标系 平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成.如图，在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么就建立了一个平面直角坐标系. 2 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}（如图）.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. 空间直角坐标系的三个要素： 原点、坐标轴方向、单位长度. 3 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°（或45°）∠yOz=90°. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，本书建立的坐标系都是右手直角坐标系. 4 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数对(即它的坐标)表示，在空间直角坐标系中是否也有类似的表示？ x y z O A(x,y,z) i j k 5 注意：(x, y, z)具有双重意义，既可以表示向量，也可以表示点，在表述时注意区分 6 7 8 9 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 11 复习回顾——平面向量的坐标运算 12 13 14 15 16 17 证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系Oxyz 18 (1)求AM的长；(2)求　 与　 所成的角的余弦值.　　 例3 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点，E1、F1分别在棱A1B1、C1D1上， （1）证明：如图建立空间直角坐标系Oxyz M . 19 (1)求AM的长；(2)求　 与　 所成的角的余弦值.　　 例3 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点，E1、F1分别在棱A1B1、C1D1上， M . (2) 20 21 9.6 数学作业 课本 22页第6，8题（写作业本上，收）； 练习册34页跟踪训练5；35页1—8题. 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量 ，且点A的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使 . 在单位正交基底{i，j，k}下与向量 对应的有序实数组（x，y，z），叫 做点A在空间直角坐标系中的坐标， 记作A（x，y，z），其中 x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标， z叫做点A的竖坐标. 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作 （如图）. 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使 .有序实数组（x，y，z）叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a=（x，y，z）.这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 思考：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量 ，你能借助几何直观确定它们的坐标（x，y，z）吗？ 如图所示，过点A分别作垂直于x轴、 y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z 轴于点B，C和D.可以证明 在x轴、y 轴、z轴上的投影向量分别为 ， ， ， 且 .设点B，C和D在x轴、 y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么 点A（向量 ）的坐标为（x，y，z）. 例1在长方体 中， ， ， ，以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. （1）写出 四点的坐标；（2）写出向量 的坐标. 解：（1）点 在z轴上，且 ，所以 . 所以点 的坐标是 .同理，点C的坐标是 . 点 在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O， ，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点 的坐标是 . 点 在 轴、 轴、 轴上的射影分别为 ，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点 的坐标是 . 解：（2） ； ； ； . 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)． a·b＝a1b1＋a2b2. (2)a∥b(b≠0)⇔a＝λb，即a1＝λb1，a2＝λb2. a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＝0. (3)|a|＝eq \r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))，eq \o(AB,\s\up15(→))＝(x2－x1，y2－y1