解答题专练-立体几何平行证明（2）-2023届高三数学二轮复习

解答题专练-立体几何平行证明（2） 一、解答题 1．如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，，，，，，，，． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 2．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，且． （1）求证：平面； （2）设二面角为．若，求直线与平面所成角的正弦值. 3．如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，， (1)证明：平面ABD； (2)若，求二面角的余弦值． 4．如图，在斜三棱柱中，，D为AB的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直. (1)求证：平面平面； (2)已知，设到平面的距离为，试问取何值时，三棱柱的体积最大？并求出最大值. 5．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 6．如图所示，几何体中，均为正三角形，四边形为正方形，平面，，M，N分别为线段与线段的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 7．如图（1），在正方形中，、、分别为、、的中点，点在对角线上，且，将、、分别沿、、折起，使、、三点重合（记为），得四面体（如图（2）），在图（2）中. (1)求证：平面； (2)在上，求一点，使二面角的大小为. 8．在直三棱柱中，D，E，F分别为A1C1，AB1，BB1的中点. （1）证明∶DE//平面B1BCC1； （2）若AB=AC=AA1=2，AF⊥DE，求直三棱柱外接球的表面积. 参考答案： 1．【解析】（Ⅰ）连接，交于，再连接 因为，是的中点，所以是的中点， 又是的中点， 所以，且平面，平面 所以平面； （Ⅱ）过作于，连接， 又因为，且 所以平面， 所以平面， 所以平面平面，过作于， 又因为平面平面， 且平面， 所以平面． 在中，， 在直角梯形中，，则 在中，， 在中，，，， 则， 所以，从而， 又由，，知， 所以由可得， 因为点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，点到平面的距离和点到平面距离相等，所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 2．【解析】（1）证明：连接，交于， 因为，，所以，， 因为，所以∽， ，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）解：取中点，连接、， 因为为正三角形，所以，， 因为为直角梯形，，，， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以平面，所以平面平面， 因为，所以平面， 所以，， 所以，设， 由余弦定理得， 于是， 整理得，解得或（舍去）， 取中点，连接， 因为，所以， 又因为平面平面，所以平面， 即线段的长为点到平面的距离， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以的长也是点到平面的距离， 而，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3．【解析】（1）证明：过D作，垂足为G， ∵平面平面ABC，平面平面，平面DEF， ∴平面ABC，∵平面ABC，∴， ∵E是等腰直角三角形ADC斜边AC的中点， ∴，又，DE，平面DEF， ∴平面DEF，∵平面DEF，∴， ∵，∴， ∵平面ABD，平面ABD，∴平面ABD． （2）由题意可知，在等腰直角三角形ADC中， ∵，∴， 由（1）可知，EF为直角三角形BAC的中位线， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，． 以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面CDF的法向量，则，，，，， 由得，令，则， 显然，平面ABC的法向量，． 二面角的余弦值． 4．【解析】（1）证明：在斜三棱柱中，四边形是平行四边形， 且为的中点，为的中点，且， 四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 平面，连接，如图所示， ，且， 则四边形为平行四边形， ，且平面，平面， 平面， ，且，平面， 平面平面； （2） ，为的中点，， 平面平面，平面平面， 且平面平面，，平面， 平面，平面， 与平面的距离， 平面，，在△中，，则， ， 平面，则平面，而平面，， 且，又，，平面，平面，且平面，，记交点为，则三角形为直角三角形， △，且，，， ，，， ， ， ，设， 即，当时，即，三棱柱的体积最大，36. 5．【解析】（1） 取中点，连接， 分别为的中点， ， 底面四边形是矩形，为棱的中点， ，． ，， 故四边形是平行四边形， ． 又平面，平面， 平面． （2）假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则是四棱锥的高． 设，则，， ，所以. 以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐