考点全攻略 第4单元 小专题2 与角平分线有关的辅助线作法（讲义课件）-【中考拐点】2023中考数学（浙江专用）

小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 2023浙江数学 ◎方法一　向角两边作垂线，利用角平分线性质定理 方法解读 ①若已知OP为∠MON的平分线，PA⊥OM，PB⊥ON，由角平分线上的点到角两边的距离相等，得PB＝PA，Rt△POA≌Rt△POB； ②若只有角平分线，可以向角的两边作垂线，构造边的垂线，得到两个全等的直角三角形. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 1.如图，射线OC是∠AOB的平分线，P是射线OC上一点，PD⊥OA于点D，DP＝6，若E是射线OB上一点，OE＝4，则△OPE的面积是 　12　⁠.  12　 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 2.如图，直线AB∥CD，且这两条直线距离为8，∠AEF与∠EFC两角的平分线交于点P，则点P到EF的距离为（　C　） A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 C 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 ◎方法二　在角两边截取，构造轴对称图形 方法解读 若P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连结PB，则△OPB≌△OPA.利用图形的对称性，在角的两边构造轴对称图形（全等三角形），可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行等量代换是一种常用的技巧. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 3.如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，若AC＝5，BD＋BC＝18，求AB的长. 解：在BC上截取CE＝AC，连结DE. ∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠ECD. 在△ACD和△ECD中， ∴△ACD≌△ECD（SAS）. ∴AD＝ED，∠A＝∠CED. ∵∠A＝2∠B，∴∠CED＝2∠B. ∴∠EDB＝∠B.∴AD＝ED＝EB. ∴BC＝CE＋EB＝AC＋AD. ∵AC＝5，BD＋BC＝18， ∴AB＝AD＋BD＝BD＋BC－AC＝18－5＝13. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 ◎方法三　“角平分线”＋“垂线”，利用等腰三角形“三线合一” 方法解读 若P是∠MON的平分线上的一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B，则△AOB为等腰三角形.构造此模型巧妙地把角平分线和三线合一联系起来了，可以利用等腰三角形的“三线合一”性质，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 4.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连结PC，若△ABC的面积为16 cm2，则△PBC的面积为（　B　） A.4 cm2 B.8 cm2 C.12 cm2 D.不能确定 B 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 5.已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点B的直线BE交直线AC于D，CE⊥BE于E，当BE平分∠ABC，求证：BD＝2CE. 证明：（1）延长CE，BA交于F. ∵CE⊥BE于E，BE平分∠ABC， ∴∠BEF＝∠BEC＝90°，∠CBE＝∠FBE. 在△CBE和△FBE中， ∴△CBE≌△FBE（ASA）. ∴CE＝EF. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 ∴CF＝2CE. ∵∠BAC＝90°，∠ADB＝∠CDE， ∴∠ABD＝∠ACE. 在△ABD和△ACF中， ∴△ABD≌△ACF（ASA）. ∴BD＝CF. ∴BD＝2CE. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 ◎方法四　“角平分线”＋“平行线”，构造等腰三角形 方法解读 ①若点P是∠MON平分线OP上一点，且PQ∥ON，可以构造等腰△OPQ，利用等腰三角形的性质解题； ②有角平分线无平行就造平行，同样可以得到等腰△OPQ.可简记为“角平分线＋平行线，等腰必呈现”. 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 6.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则MN＝ 　9　⁠.  9　 返回首页 总目录索引 小专题2　与角平分线有关的辅助线作法 首页 总目录 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F. （1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数； （1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC. ∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°. ∵AB＝AC，D