【同步辅导】2015高中数学北师大版选修1-1《导数的概念与几何意义》课件+学案（2份）

第2课时　 导数的概念与几何意义 * 1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题. 3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法. * 如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么? * 问题1 问题2 * 根据创设的情境,割线PPn的变化趋势是 　 　.   导数的概念与求法: 我们将函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为f(x)在x=x0处的导数,即有f'(x0)==,所以求导数的步骤为: (1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)算比值:=; (3)求极限:y'=. 点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线 * 不止一个 瞬间变化 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 问题3 问题4 函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率 k=f'(x0)=  . 相应的切线方程是:　 　.  曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的　 　情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想.  不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点　 　.  =　 * D 1 下列说法正确的是(　　). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点　 B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点　 C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线　 D.若y=f(x)在点(x0,f (x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在　 【解析】当切线平行于y轴时,切线斜率不存在,则f'(x0)不存在. * B 2 3 如果曲线y=f (x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 x+2y-3=0,那么(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 【解析】由x+2y-3=0知斜率k=-,∴f'(x0)=-<0. 设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为　　　　 　　.  【解析】f'(x)= ==3x2+1, 由于曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在P0处的导数值等于4,设P0(x0,y0),有f'(x0)=3+1=4,解得x0=±1,这时P0点的坐标为(1,0)或(-1,-4). (1,0)或(-1,-4) * 4 函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0). 【解析】f'(x0)= ==3. * 导数概念的理解 已知f'(x0)=2,求. 【解析】由已知得:=2, 当h→0,2h→0,-4h→0, ==2. * [问题]上面的解答遵循导数的定义吗? [结论]没有,在导数的定义形式中,增量Δx的形式多种多样,但是无论增量Δx选择哪种形式,Δy必须保持相应的形式.即:f'(x0)===(其中a为非零常数). 于是,正确解答为: =-4=-4 =-4f'(x0)=-8. * 7 求切线方程 已知曲线y=上两点P(2,-1),Q(-1,). (1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率; (2)求曲线在P,Q处的切线方程. 【解析】将P(2,-1)代入y=,得t=1,∴y=. ∴===. (1)曲线在点P处的切线斜率为y'|x=2==1,曲线在点Q处的切线斜率为y'|x=-1=. (2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0,曲线在点Q处的切线方程为y-=[x-(-1)],即x-4y+3=0. * 导数几何意义的综合应用 抛物线y=x2在点P处的切线与直线4x-y+2=0平行,求P点的坐标及切线方程. 【解析】设P点坐标为(x0,y0), y'====(2x+Δx)=2x. ∴y'=2x0,又由切线与直线4x-y+2=0平行, ∴2x0=4,∴x0=2. ∵P(2,y0)在抛物线y=x2上,∴y0=4, ∴点P的坐标为(2,4), ∴切线方程为y-4=4(