专题02 向量三大定理及三角形四心-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）

专题02 向量三大定理及三角形四心 目录 【题型一】奔驰定理 1 【题型二】奔驰定理综合应用 2 【题型三】极化恒等式 3 【题型四】等和线 4 【题型五】 四心之重心 6 【题型六】四心之外心 6 【题型七】四心之内心 7 【题型八】四心之垂心 8 培优第一阶——基础过关练 9 培优第二阶——能力提升练 10 培优第三阶——培优拔尖练 11 【题型一】奔驰定理 【典例分析】 已知为内一点，且，则与面积比为（       ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 基本规律 为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所 【变式训练】 1.在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（       ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2.设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则 A． B． C． D． 3.已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【题型二】奔驰定理综合应用 【典例分析】 如图，设为内的两点，且，＝＋，则的面积与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ） A． B． C． D． 2.已知点为内一点，，则的面积之比为______． 3.已知为△的重心，过点的直线与边分别相交于点.若,则与的面积之比为________. 【题型三】极化恒等式 【典例分析】 如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点M为边BC上的动点，则的最小值为 ． 【提分秘籍】 基本规律 在△中，是边的中点，则. 【变式训练】 1.在△中，已知，，则的最大值为 . 2.如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为 . 3.如图放置的边长为1的正方形，顶点分别在轴，轴正半轴（含原点）滑动，则的最大值为______________. 【题型四】等和线 【典例分析】 如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动， 是圆上及内部的动点，设向量（， 为实数），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 基本规律 等和线原理 【变式训练】 1.如图，，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合与点且三组对边分别平行.点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若 ，则的取值范围是（ ） 图 六芒星 图 A． B． C． D． 3.中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ） A． B． C．6 D．8 【题型五】 四心之重心 【典例分析】 如图，点为的重心，且，，则的值为 ． 【提分秘籍】 基本规律 重心：三角形三条中线交点 重心向量性质：若为的重心. 重心性质： 1.在ABC中，中线AD交BC于D, G是重心，则AG=2GD 2.在中，A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)的重心G坐标公式 3.若O是的重心，则=== 【变式训练】 1.已知是平面上不共线三点，是的重心，动点满足，则一定为的（ ） A．边中线的三等分点（非重心） B．边的中点 C．边中线的中点 D．重心 2.已知点G是△ABC的重心，若，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 3.过的重心任作一直线分别交、于点、，若，，且，则（　　） A． B． C． D． 【题型六】四心之外心 【典例分析】 已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 基