专题13 余弦定理、正弦定理应用举例-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题13 余弦定理、正弦定理应用举例 1．基线的概念与选择原则 (1)定义：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线． (2)性质：在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指 正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角） 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 题型一 测量距离问题 1．为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为 m. [解析]由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽：BD＝120·sin 30°＝60(m)． 2．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为(　　) A．500米　　　　　　 B．600米 C．700米 D．800米 [解析]由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°. 利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos 120°，所以AB＝700米，故选C. 3．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两个场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为(　　) A. B. C. D. [解析]在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝. 4．海上有A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　) A．10 海里　　　 B. 海里 C．5 海里 D．5 海里 [解析]根据题意，可得如图．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°. 由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)． 5．一船在海面A处望见两灯塔P，Q在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达B处，望见灯塔P在正西方向，灯塔Q在西北方向，则两灯塔的距离为________． [解析]如图，在△ABP中，AB＝4，∠ABP＝45°，∠BAP＝60°， ∴∠APB＝75°.∴PA＝＝＝4(－1)． 又在△ABQ中，∠ABQ＝45°＋45°＝90°，∠PAB＝60°，∴AQ＝2AB＝8. 于是PQ＝AQ－PA＝12－4，∴两灯塔的距离为(12－4) 海里． 6．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km. [解析]如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km. 由正弦定理得＝，∴BC＝·sin15°＝(km)． 设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75°＝·＝(km). 7．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是(　　) A．5 海里/时 B．5海里/时 C．10 海里/时 D．10海里/时 [解析]如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB＝5海里，所以这艘船的速度是10海里/时．故选D. 8．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　) A．5 km B．10 km C．5 km D．5 km [解析]作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15， 由正弦定理，得＝，即BC＝＝5， 即这时船与灯塔的距离是5 km. 9．要测量河对岸A