专题12 正弦定理-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题12 正弦定理 1．正弦定理 条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 结论 ＝＝ 文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 2．正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)＝＝＝＝2R ； (3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (4) sin A＝，sin B＝，sin C＝. 3．已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 ①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数； ②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 题型一 用正弦定理解三角形 1．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形． [解析]因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°. 由＝得a＝＝10×＝10. 因为sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝， 所以b＝＝＝20×＝5＋5. 2．在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小． [解析]因为sin B＝，所以B＝30°或150°， 当B＝30°时，由A＝60°得C＝90°；当B＝150°时，不合题意，舍去． 所以由正弦定理＝＝，得b＝·a＝×3＝，c＝·a＝×3＝2. 3．已知△ABC中的下列条件，解三角形： (1)a＝10，b＝20，A＝60°；(2)a＝2，c＝，C＝. [解析](1)因为＝，所以sin B＝＝＝>1，所以三角形无解． (2)因为＝，所以sin A＝＝.因为c＞a，所以C＞A.所以A＝. 所以B＝，b＝ ＝＝＋1. 4．已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c. [解析]∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 又由正弦定理得：c＝＝10. b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋)． ∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10. 5．已知B＝30°，b＝，c＝2，求A，C，a. [解析]由正弦定理得：sin C＝＝＝， ∵c>b,0°<C<180°，∴C＝45°或135°. 当C＝45°时，A＝105°，a＝＝＝＋1， 当C＝135°时，A＝15°，a＝＝＝－1. 6．已知在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，解这个三角形． [解析]由正弦定理及已知条件有＝，得sin A＝. ∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°. 当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝＝. 综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝. 7．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于 [解析]由正弦定理得，b＝＝＝10. 8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________. [解析]在△ABC中，∵sin B＝，0<B<π，∴B＝或B＝π. 又∵B＋C<π，C＝，∴B＝，∴A＝π－－＝π.∵＝，∴b＝＝1. 9．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝ [解析]因为a＝3，b＝5，sin A＝，所以由正弦定理得sin B＝＝＝. 10．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________. [解析]由正弦定理得：＝，所以sin B＝.又a>b，所以A>B，所以B＝， 所以C＝π－＝. 11．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝ ，a＝ . [解析]由tan A＝2，得sin A＝2cos A，由sin2A＋cos2A＝1，得sin A＝， ∵b＝5，B＝，由正弦定理＝，得a＝＝＝2. 12．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值． [解析]由条件得＝＝，∴sin A＝sin C.同理可得sin B＝sin C. ∴＝＝－. 13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝ [解析]由三角形内角和定理得，C＝180°－(A＋B)