【技巧归纳+能力拓展】专项训练六 函数导数与不等式（考点2 导数中恒(能)成立问题）-备战2023年高考数学二轮复习《大题拆小做 题型轻松过》专项训练（新高考专用）

新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项六 函数导数与不等式 考点2 导数中恒(能)成立问题 大题 拆解技巧 【母题】(2021年天津卷)已知a>0,函数f(x)=ax-xex. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)证明f(x)存在唯一极值点; (3)若存在a,使得f(x)≤a+b对于任意x∈R成立,求实数b的取值范围. 【拆解1】已知a>0,函数f(x)=ax-xex.求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程. 【拆解2】已知条件不变,证明f(x)存在唯一极值点. 【拆解3】已知条件不变,若存在a,使得f(x)≤a+b对于任意x∈R成立,求实数b的取值范围. 小做 变式训练 已知函数f(x)=2xln x+x2-ax+1. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若存在x0∈[,e],使不等式f(x0)≥-2成立,求实数a的取值范围. 【拆解1】已知函数f(x)=2xln x+x2-ax+1.当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. 【拆解2】若x∈[,e],求函数h(x)=2ln x+x+的最大值. 【拆解3】已知条件不变,若存在x0∈[,e],使不等式f(x0)≥-2成立,求实数a的取值范围. 技巧归纳 恒(能)成立问题的转化策略:若f(x)在区间D上有最值,则 (1)恒成立:∀x∈D,f(x)>0⇔f(x)min>0; ∀x∈D,f(x)<0⇔f(x)max<0. (2)能成立:∃x∈D,f(x)>0⇔f(x)max>0; ∃x∈D,f(x)<0⇔f(x)min<0. 突破 实战训练 <基础过关> 1.已知函数f(x)=m(x-2)-ln(x-1). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当x>2时,f(x)≤m(x-2)2恒成立,求实数m的取值范围. 2.已知函数f(x)=aex-2(a+1). (1)讨论函数g(x)=f(x)-2x的单调性; (2)若不等式f(x)+≥0(a>0)在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围. 3.在数学中,双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数,ch x=称为双曲余弦函数. (1)若对于任意x∈R,不等式ch 2x≥mch x-3恒成立,求实数m的最大值; (2)若a>0,存在x1,x2∈[1,+∞),使得2ch x1<a(-+4x2-2)成立,试比较a-1与(e-1)ln a的大小,并证明你的结论. 4.已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x(a∈R). (1)若f(x)在区间[1,2]上是单调函数,求实数a的取值范围; (2)函数g(x)=(1-a)x,若∃x0∈[1,e]使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围. <能力拔高> 5.已知函数f(x)=. (1)当a=b=1时,求函数f(x)的极值; (2)若f(1)=1,且方程f(x)=1在区间(0,1)内有解,求实数a的取值范围. 6.已知函数f(x)=4x2-4x+mln(2x),其中m为大于零的常数. (1)讨论y=f(x)的单调区间; (2)若y=f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2),且不等式f(x1)≥ax2恒成立,求实数a的取值范围. <拓展延伸> 7.已知函数f(x)=x2+ax+2+ln x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≤ex恒成立,求a的最大值. 8.已知函数f(x)=x-ln x+. (1)求f(x)的最小值; (2)若存在区间[a,b]⊆[,+∞),使g(x)=xf(x)在[a,b]上的值域为[k(a+2),k(b+2)],求实数k的取值范围. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项六 函数导数与不等式 考点2 导数中恒(能)成立问题 大题 拆解技巧 【母题】(2021年天津卷)已知a>0,函数f(x)=ax-xex. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)证明f(x)存在唯一极值点; (3)若存在a,使得f(x)≤a+b对于任意x∈R成立,求实数b的取值范围. 【拆解1】已知a>0,函数f(x)=ax-xex.求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程. 【解析】因为f(0)=0,f'(x)=a-(x+1)ex,所以f'(0)=a-1,所以函数在(0,f(0))处的切线方程为(a-1)x-y=0. 【拆解2】已知条件不变,证明f(x)存在唯一极值点. 【解析】若证明f(x)仅有一个极值点,即证f'(x)=a-(