【技巧归纳+能力拓展】专项训练六 函数导数与不等式（考点1 利用导数研究函数的单调性）-备战2023年高考数学二轮复习《大题拆小做 题型轻松过》专项训练（新高考专用）

新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项六 函数导数与不等式 考点1 利用导数研究函数的单调性 大题 拆解技巧 【母题】(2021年全国甲卷)已知a>0且a≠1,函数f(x)=(x>0). (1)当a=2时,求f(x)的单调区间; (2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围. 【拆解1】已知a>0且a≠1,函数f(x)=(x>0).当a=2时,求f(x)的单调区间. 【拆解2】如何将=1转化为对数式? 【拆解3】本例条件不变,若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围. 小做 变式训练 已知函数f(x)=-x2+xsin x+cos x,x∈[-π,π]. (1)判断函数y=f(x)的奇偶性,并求其单调区间; (2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个交点,求实数b的取值范围. 【拆解1】已知函数f(x)=-x2+xsin x+cos x,x∈[-π,π].判断函数y=f(x)的奇偶性,并求其单调区间. 【拆解2】试画出函数f(x)=-x2+xsin x+cos x(x∈[-π,π])的大致图象. 【拆解3】本例中的条件不变,若曲线y=f(x)与直线y=b有两个交点,求实数b的取值范围. 技巧归纳 1.求函数单调区间的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f'(x);(3)在定义域内解不等式f'(x)>0,得单调递增区间;(4)在定义域内解不等式f'(x)<0,得单调递减区间. 2.根据函数单调性求参数的一般思路: (1)利用集合间的包含关系处理y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)单调递增的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0,且在(a,b)内的任一非空子区间上f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解. (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题. 突破 实战训练 <基础过关> 1.已知函数f(x)=. (1)若a=0,求y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间,以及最大值和最小值. 2.已知函数f(x)=. (1)当a=0时,求函数y=f(x)的单调区间; (2)当a=1时,过点P(-1,0)可作几条直线与曲线y=f(x)相切?请说明理由. 3.已知函数f(x)=eax-ex,其中实数a≠0. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,不等式f(x)≥(x-1)2恒成立,求实数a的取值范围. 4.已知关于x的函数f(x)=ax-ln x-(1+ln 2). (1)讨论f(x)的单调性; (2)求证:当n∈N*时,ln(1×2×3×…×n)<n2-nln 2. <能力拔高> 5.已知函数f(x)=ex-ln(x+1)(e为自然对数的底数). (1)求函数f(x)的单调区间. (2)若g(x)=f(x)-ax,a∈R,试求函数g(x)极小值的最大值. 6.已知a是常数,函数f(x)=(x-aln x)ln x-x. (1)讨论函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性; (2)若0<a<1,证明:f(ea)>-1. <拓展延伸> 7.已知函数f(x)=a(x+2)ex-(x+3)2(a∈R,e为自然对数的底数). (1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为3x+y+7=0,求a的值; (2)讨论f(x)的单调性. 8.已知函数f(x)=ex-1-axln x+(a-1)x(x>0). (1)若a=0,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数y=f(x)为定义域内的增函数,求实数a. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项六 函数导数与不等式 考点1 利用导数研究函数的单调性 大题 拆解技巧 【母题】(2021年全国甲卷)已知a>0且a≠1,函数f(x)=(x>0). (1)当a=2时,求f(x)的单调区间; (2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围. 【拆解1】已知a>0且a≠1,函数f(x)=(x>0).当a=2时,求f(x)的单调区间. 【解析】当a=2时,f(x)=, f'(x)===, 当x∈(0,)时,f'(x)>0,当x∈(,+∞)时,f'(x)<0, 故f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减. 【拆解2】如何将=1转化为对数式? 【解析】=1⇔xa=ax⇔aln x=xln a⇔=. 【拆解3】本例条件不变,若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个