【技巧归纳+能力拓展】专项训练六 函数导数与不等式（考点3 利用导数研究函数零点问题）-备战2023年高考数学二轮复习《大题拆小做 题型轻松过》专项训练（新高考专用）

新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项六 函数导数与不等式 考点3 利用导数研究函数零点问题 大题 拆解技巧 【母题】(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b. (1)讨论f(x)的单调性; (2)从下面两个条件中选一个,证明:f(x)有一个零点 ①<a≤,b>2a; ②0<a<,b≤2a. 【拆解1】已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b,讨论f(x)的单调性. 【拆解2】已知条件不变,且满足<a≤,b>2a,证明:f(x)有一个零点. 【拆解3】已知条件不变,且满足0<a<,b≤2a,证明:f(x)在区间(0,+∞)上有一个零点. 【拆解4】已知条件不变,且满足0<a<,b≤2a,证明:f(x)在区间(-∞,0)上没有零点. 小做 变式训练 已知函数f(x)=(x-2)2-x+2ln x(a>0). (1)讨论f(x)的单调性; (2)是否存在实数a,使得f(x)有两个零点?说明理由. 【拆解1】已知函数f(x)=(x-2)2-x+2ln x(a>0).讨论f(x)的单调性. 【拆解2】若0<a≤,证明函数f(x)至多有一个零点. 【拆解3】已知条件不变,是否存在实数a,使得f(x)有两个零点?说明理由. 技巧归纳 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题: 第一步,将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题; 第二步,利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象; 第三步,结合图象求解. 2.根据函数零点情况求参数范围:(1)要注意端点的取舍;(2)选择恰当的分类标准进行讨论. 突破 实战训练 <基础过关> 1.已知函数f(x)=x3+3a(x+1)(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若函数g(x)=f(x)-xln x-3a在[,2]上有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 2.已知函数f(x)=+a. (1)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围; (2)设g(x)=f(x)+,若对任意的x∈(0,+∞),都有g(x)≤ex恒成立,求实数a的取值范围. 3.已知函数f(x)=ex-1-ax,g(x)=ln -a-1(a∈R). (1)试讨论函数f(x)的零点个数; (2)若当x≥1时,关于x的方程f(x)=g(x)+e有且只有一个实数解,求实数a的取值范围. 4.青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若f'(x)是f(x)的导函数,f″(x)是f'(x)的导函数,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=.已知函数f(x)=aex-ln x-bcos(x-1)(a≥0,b>0),若a=0,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的曲率为. (1)求实数b的值; (2)若函数f(x)存在零点,求实数a的取值范围; (3)已知1.098<ln 3<1.099,e0.048<1.050,e-0.045<0.956,证明:1.14<ln π<1.15. <能力拔高> 5.已知函数f(x)=-a. (1)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围; (2)若函数g(x)=xln x-ax2+有两个极值点,试判断函数g(x)的零点个数. 6.已知函数f(x)=+ln x(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性. (2)设函数f(x)的导函数为f'(x),若函数f(x)有两个不相同的零点x1,x2. ①求实数a的取值范围; ②证明:x1f'(x1)+x2f'(x2)>2ln a+2. <拓展延伸> 7.已知函数f(x)=x2-(a+1)x+aln x. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当a<1时,求函数f(x)的零点个数,并说明理由. 8.已知函数f(x)= (1)若a=2,求f(x)的最小值; (2)若f(x)恰好有三个零点,求实数a的取值范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项六 函数导数与不等式 考点3 利用导数研究函数零点问题 大题 拆解技巧 【母题】(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b. (1)讨论f(x)的单调性; (2)从下面两个条件中选一个,证明:f(x)有一个零点 ①<a≤,b>2a; ②0<a<,b≤2a. 【拆解1】已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b,讨论f(x)的单调性. 【解析】由函数f(x)的解析式可得f'(