专题二 数列（热点攻关 “数列”大题的常考题型探究 跟踪训练）-【聚焦重难 专题透析】2023年高考数学二轮复习精品课件+重难点题型突破（全国通用）

热点攻关 跟踪训练 “数列”大题的常考题型探究 1.(2022年全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.已知+n=2an+1. (1)证明:{an}是等差数列. (2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值. 2.(2022·山东模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,满足a1=b2=2,S5=30,b4+2是b3与b5的等差中项. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)从数列{an}中去掉数列{bn}的项后余下的项按原来的顺序组成数列,设数列的前n项和为Tn,求T60. 3.(2022·福建模拟)已知等比数列{an}满足a2=4,a5=32. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn. 4.(2022·河南检测)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1=1,a2,a4,a8成等比数列. (1)求{an}的通项公式. (2)若bn=an·2n,求{bn}的前n项和Tn. 5. 在①=,②a2是a1和a4的等比中项这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. 问题:已知公差d不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=6. (1)　　　　,求数列{an}的通项公式. (2)若数列bn=,cn=an+bn,求数列的前n项和Tn. 6. 已知函数f(x)=,方程f(x)=1在(0,+∞)上的解按从小到大的顺序排成数列{pn}(n∈N*). (1)求数列{pn}的通项公式. (2)设qn=,数列{qn}的前n项和为Tn,求证:Tn<. 7.已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且S1+S2+…+Sn=3n+5. (1)求a1,a2及数列{an}的通项公式; (2)设bn=log2(n∈N*),求使得b1+b2+…+bn>2022成立的最小正整数n的值. 8.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+n-1. (1)证明:{an+n}为等比数列. (2)求数列的前n项和Sn. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点攻关 跟踪训练 “数列”大题的常考题型探究 1.(2022年全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.已知+n=2an+1. (1)证明:{an}是等差数列. (2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值. 【解析】　(1)由已知得2Sn+n2=2nan+n,　① 把n换成n+1,得2Sn+1+(n+1)2=2(n+1)an+1+n+1,　② ②-①可得2an+1=2(n+1)an+1-2nan-2n, 整理得an+1=an+1, 由等差数列的定义得{an}为等差数列. (2)由已知有=a4a9,设等差数列{an}的首项为x,由(1)知其公差为1, 故(x+6)2=(x+3)(x+8),解得x=-12,故a1=-12, 所以an=-12+(n-1)×1=n-13, 故可得a1<a2<a3<…<a12<0,a13=0,a14>0, 故Sn在n=12或者n=13时取最小值,S12=S13==-78, 故Sn的最小值为-78. 2.(2022·山东模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,满足a1=b2=2,S5=30,b4+2是b3与b5的等差中项. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)从数列{an}中去掉数列{bn}的项后余下的项按原来的顺序组成数列,设数列的前n项和为Tn,求T60. 【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q, ∵a1=2,∴S5=10+d=30,∴d=2, ∴an=2+2(n-1)=2n. ∵b4+2是b3与b5的等差中项,∴2(b4+2)=b3+b5, 又b2=2,∴2(2q2+2)=2q+2q3,解得q=2, ∴bn=2n-1. (2)∵a60=120, ∴数列{an}的前60项中与数列{bn}的公共项共有6项,且最大公共项为b7=26=64. 又a66=132,b8=27=128, ∴T60=S67-(2+22+…+27)=134+×2-=4556-254=4302. 3.(2022·福建模拟)已知等比数列{an}满足a2=4,a5=32. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn. 【解析】　(1)因为{an}为等比数列,且a2=4,a5=32,设公比为q, 所以q3==8,所以q=2,a1==2, 所以an=a1·qn-1=2n. (2)因为bn====-, 所以Sn=-+-+…+-=1-=. 4.(2022·河南检测)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1=1,a2,a4,a8成等比数列. (1)求{an}的通项公式. (2)若bn=an·2n