第15讲 导数中函数中的双变量问题系列-2023年高考数学专题复习重难考点题型突破之导数、数列（全国通用）

学生版 第15讲 函数中的双变量系列问题 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 题型一 双变量问题之转化同构 思维导图-----方法梳理 若问题的不等式或等式中含有，两个变量，我们称这类题型为双变量问题，双变量问题有若干细分题型，本题型先分析：若对任意的，在区间D上，某关于和的具有轮换对称性的不等式恒成立，求参数取值范围.这类问题一般将原不等式等价转化为这种同构形式，根据函数的单调性来研究参数的取值范围. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 例2.已知函数，其中为自然对数的底数. （1）设函数，，试讨论函数的单调性； （2）设函数，，若且，都有成立，求实数m的取值范围. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.（多选）若正实数a、b满足，则下列不等式可能成立的有（ ） A. B. C. D. 2．已知函数，若对任意且，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3．已知函数，，其中m、a均为实数. （1）求的极值； （2）设，，若对任意的，都有恒成立，求a的最小值. 4．已知函数，. （1）讨论函数的单调性; （2）设，若、且，都有，求a的取值范围. 题型二 双变量问题之极值点消元 思维导图-----方法梳理 一般地，设函数有两个极值点、，如果我们需要证明与和有关的不等式，或者根据给出的与和有关的不等式，求参数的取值范围，由于有两个变量（和）和参数，处理起来往往较为困难，这个时候可以运用、是方程的实根，来建立、和参数的关系，消元化归成单变量问题处理. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.（2018·新课标Ⅰ卷）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点、，证明：. 例2.（2009·全国Ⅱ卷）设函数有两个极值点、，且. （1）求a的取值范围，并讨论的单调性； （2）证明：. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．设函数，. （1）若函数在上是增函数，求a的取值范围； （2）若函数有两个极值点、，求证：. 2．设函数 （l）若，且函数在定义域上是增函数，求a的取值范围； （2）若，且有两个极值点、，证明：. 3.已知函数，. （1）若直线与函数，的图象均相切，求实数a的值； （2）设函数 （i）证明：函数有两个极值点、； （ii）对（i）中的两个极值点、，若，求实数a的取值范围. 4.已知函数，若函数在定义域上存在两个极值点、，且. （1）求实数m的取值范围； （2）证明：. 题型三 双变量问题之极差计算 思维导图-----方法梳理 设、是区间D上的任意两个实数，不等式（其中k为给定常数）恒成立，求解析式中参数的取值范围.这类问题一般转化为来处理，此方法称为极差计算，解题的关键是求出函数在区间D上的最大最小值. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.（2015·新课标Ⅱ卷）设函数. （1）证明：在上单调递减，在上单调递增； （2）若对于任意，都有，求m的取值范围. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 l.已知函数，其中且，若对任意的,，不等式恒成立，则a的取值范围为______. 2．已知函数 （1）求的极值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 3.已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当，时，对任意的，有成立，求实数b的取值范围. 题型四 双变量问题之换元法与主元法 思维导图-----方法梳理 1．换元法：将要证明的不等式或目标代数式通过变形成关于的整体结构，通过将换元成t把问题化归成单变量问题来处理，这一方法也称为“齐次换元”. 2.主元法：要证明的不等式或目标代数式中含有和两个变量，将其中一个变量看成主元，另一个变量看成次元，将主元换成x，构造函数研究问题. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，证明：. 例2.已知函数. （1）若存在单调递增区间，求a的取值范围； （2）若，是的两个不同的极值点，证明：. 例3.已知函数 （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，证明：. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．设a和b是任意两个不相等的正数，证明：. 2．已知函数， （1）若直线与的图象相切，求实数k的值； （2）设，比较与的大小，并说明理由. 3．已知函数，其中. （1）当时，求的极值； （2）当，时，证明：. 4．设函数，其中. （1）当时，证明：有且仅有一个零点； （2）在函数的图象上是否存在不同的两点，，使得