第14讲 导数中与切线有关的系列问题-2023年高考数学专题复习重难考点题型突破之导数、数列（全国通用）

学生版 第14讲 与切线有关的系列问题 思维导图-----知识梳理 求切线，最重要的是求“切点”和“斜率”，再利用点斜式求出切线，可见“切点”是最重要的环节. 1.若题目给了切点，则斜率，切线为. 2.若题目没给切点，只说切线过点，则我们先设切点，用“5步法”来求切线： 步骤1：设切点为； 步骤2：求斜率； 步骤3：写出切线方程； 步骤4：将代入得； 步骤5：解上述方程得到t，代入步骤3即可求得切线的方程. 3.已知直线（k、b为常数）与含参数a的函数的图象相切，求a和切点：如上图所示，设切点为，则在切点处应有，解此方程组即可求出和的值. 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 思维导图-----典型题型讲练 题型一 函数公切线问题 思维导图-----方法梳理 两个函数和的图象有公切线，以此为背景的试题主要有三种： （1）求公切线； （2）根据公切线，求参数范围； （3）讨论公切线的条数. 这几类题一般采用设各自的切点分别为、，再写出各自的切线方程，比较系数建立方程组，并求解方程组的方法来处理. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.已知函数，，直线l与曲线和都相切，则的方程为_______. 例2.若函数与的图象存在公切线，则实数a的最小值为______. 例3.已知函数，，判断与图象公切线的条数. 1.已知曲线在处的切线与曲线也相切，则（ ）套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 A. B. C. D. 2.若直线与曲线和曲线都相切，则直线的方程为______. 3.设A、B为函数图象上的两点，且曲线在A、B两点处的切线重合，则实数a的取值范围为_______. 4.若二次函数的图象与曲线存在公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5.已知函数，，其中实数，讨论与图象公切线的条数. 6.直线与函数和都相切，则______. 题型二 三次函数的切线条数 思维导图-----方法梳理 研究过点可以作出三次函数图象的几条切线，本质上是研究方程根的个数，可以设切点为，则切线方程为，将点P的坐标代入切线方程可得，这一关于的方程有几个实数解，过点P就可以作出函数图象的几条切线，这一问题的结论如下图所示： 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.已知函数． （1）若是的极大值点，求a的值； （2）若过点可以作曲线的三条切线，求a的取值范围． 1．已知函数，若过点可作函数图象的两条切线，则实数________.套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 2．已知函数，若过点可作出函数的图象的3条切线，则实数m的取值范围是________. 3.设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）确定b、c的值； （2）设曲线在及处的切线都过点，证明：当时， （3）若过点可作曲线三条不同的切线，求a的取值范围. 4.已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：. 5.已知函数. （1）求在区间上的最大值； （2）若过点存在三条直线与曲线相切，求实数t的取值范围； （3）过点、、分别存在几条直线与曲线相切?（只需写出结论） 题型三 指对共生式技巧之切线放缩 思维导图-----方法梳理 当要证明的不等式中既含有，又含有时，一般我们形象地称之为指对共生式，这类问题直接构造差函数进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双函数、同构等技巧.这一小节先给大家介绍切线放缩的技巧，常用的切线放缩有： （1）；（2）；（3）；（4）. 在证明不等式的过程中，可通过上述常见的切线放缩，将或放缩掉，再来证明不等式，这是指对共生式一种可以考虑的方向. 注意：解题中若要用不等式、、等进行放缩，需要先给出证明.由于本节会反复用到这些不等式，为了避免繁琐的重复论证，本节所给的答案中，以上不等式直接用易证代替. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例l.证明：. 例2.已知函数. （1）若在上单调递减，求实数a取值范围； （2）若，求的最大值. 例3.已知函数，，其中e为自然对数的底数. （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）若a取（1）中的最大值，证明：. 1.函数的最大值为_______.套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 2.函数的最大值为_______. 3.函数的最小值为_______. 4.证明：. 5.不等式对任意的恒成立，则实数a取值范围为（ ）. A. B. C. D. 6.已知函数f，其中e为自然对数的底数，. （1）若函数在上是增函数，求a的取值范围； （2）若，求证：. 7.已知函数，其