第13讲 导数中三次函数有关的问题-2023年高考数学专题复习重难考点题型突破之导数、数列（全国通用）

学生版 第13讲 三次函数的图象性质 思维导图-----方法梳理 1.对称中心：三次函数一定有对称中心，对称中心的坐标为 2．三次函数有以下6种可能的图象： 3.三次函数的零点个数： （1）若方程的判别式，则在R上是单调函数，无极值，值域为，函数在R上有唯一的零点. （2）若方程的判别式，则有两个零点，，它们是函数的极值点. （i）有一个零点，如下图所示； （ii）有两个零点，如下图所示； （iii）有一个零点，如下图所示； 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.已知函数在时有极值0，则_______. 例2.若函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是_______. 例3. 若函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是_______. 例4. 若函数在上有极值点，则实数a的取值范围是_______. 例5. 若函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是_______. 例6.已知三次函数的图象一定有对称中心，设为，记函数的导函数为，的导函数为，则有，已知函数， 则可以根据以上信息求出的值为_______. 例7.（2020·新课标Ⅲ卷）已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求k的取值范围. 例8.已知函数，其中. （1）若在R上单调递增，求a的值； （2）若，讨论在区间上的零点个数. 1．已知函数有两个极值点，，则下列结论中错误的是（ ）套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 A.，存在，使得 B.在上存在最大值 C.是的极大值点 D.若，则有唯一的零点 2．已知函数，其中，若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是_______. 3．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是_______. 4.（2016·北京）设函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围； （3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件. 5．已知函数. （1）若是的极值点，求k的值和的单调区间； （2）若函数在上有且仅有两个零点，求在上的最大值. 6．已知函数，其中， （1）讨论的单调性； （2）若函数有3个零点，，，求t的取值范围，并证明：. 7.（2011·天津）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）证明：对任意的，函数在上存在零点. 8．若实数满足，则称为的不动点.已知函数，其中a、b为常数. （1）若，求的单调递增区间； （2）若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点，求b的值； （3）求证：不存在常数a和b，使得互异的两个极值点都是的不动点. 9.已知函数，其中. （1）若，讨论函数的单调性； （2）当且时，证明：函数有且仅有一个零点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $教师版 第13讲 三次函数的图象性质 思维导图-----方法梳理 1.对称中心：三次函数一定有对称中心，对称中心的坐标为 2．三次函数有以下6种可能的图象： 3.三次函数的零点个数： （1）若方程的判别式，则在R上是单调函数，无极值，值域为，函数在R上有唯一的零点. （2）若方程的判别式，则有两个零点，，它们是函数的极值点. （i）有一个零点，如下图所示； （ii）有两个零点，如下图所示； （iii）有一个零点，如下图所示； 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.已知函数在时有极值0，则_______. 【解析】，由题意，，解得：或， 若，，则， 所以在R上单调递增，不合题意，所以，，故. 例2.若函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是_______. 【解析】由题意，，显然在R上只能单调递增， 所以恒成立，从而，解得：. 例3. 若函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是_______. 【解析】若在上单调函数，则或在上恒成立， 由题意，，注意到，所以只能恒成立，即， 从而只需，解得：， 因为在上不是单调函数，所以的取值范围是. 例4. 若函数在上有极值点，则实数a的取值范围是_______. 【解析】若在上没有极值点，则在上是单调函数， 所以或在上恒成立， 由题意，，注意到，所以只能恒成立，即， 从而只需，解得：， 因为在上有极值点，所以的取值范围是. 例5. 若函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是_______. 【解析】在上有两个极值点等价于在上有两个零点， 由题意，，所以，解得：或. 【答案】 例6.已知三次函数的图象一定有对称中心，设为，记函数的导函数为，的导函数为，则有，已知函数， 则可以根据以上信息求出的值为_______. 【解析】由题意，，，令可得， 又，所以的图象的对称中心是，故当时，， 记， 则， 以上两式相加得： ，所以