第12讲 导数中的不等式证明系列-2023年高考数学专题复习重难考点题型突破之导数、数列（全国通用）

学生版 导数专题 引子: 我们总是对现有的东西不忍放弃，包括认知方式、学习模式以及那些习以为常的思维逻辑。 大脑也喜欢偷懒，面对问题的第一反应是搜索曾经的习惯，让你无法自拔。 如果要有所长进，就必须与过去的自己一刀两段。 只有被逼到了悬崖的边缘，才能放弃幻想，去追求另一片蓝天。 道理我都懂，可再多的道理也无济于事。 道理从来就不是拿来懂的，而是拿来悟的。 有人悟成了诗，有人悟成了歌，有人演绎成了故事，也有人活成了无可奈何…… 第12讲 导数中不等式的证明系列 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 思维导图-----典型题型讲练 题型一 简单的函数不等式证明 思维导图-----方法梳理 常见的函数不等式证明有下面的两种解法： （1）直接构造差函数：以证不等式为例，可构造差函数，求，研究的单调性，得出的最大值小于0即可. （2）等价变形后构造差函数：当直接按第（1）种处理方法构造出来的函数较为复杂时，可对要证明的不等式先进行等价变形，再构造函数证明，体现了转化与化归的思想.而常见的等价变形技巧通常是指不等式中有的，变形成结构；有的，则变形成结构，后续函数单调性的研究会比较容易. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.证明不等式：（1）；（2）. 例2.证明不等式：（1）；（2）. 1.证明：.套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 2.证明：当时，. 3.证明：当时，. 4.证明：. 5.证明：. 6.证明：. 7.证明：. 8.已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：，. 题型二 不等式证明之满参放缩 思维导图-----方法梳理 当要证明的不等式含参，且规定了参数的范围时，可以考虑先使用满参放缩，将含参的不等式转化为不含参的不等式来证明.这一技巧在后续小节诸多问题中会反复用到，是一个必备的基本技能. 简单而言就是:将参数的端点代入函数中,与原函数比较放缩. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.当时，证明：. 例2.若，，证明：. 例3.已知函数，其中. （1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值； （2）当时，证明：. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.当时，证明：对任意的，都有. 2.当时，证明：. 3.当时，证明：对任意的，都有. 4.当时，证明：对任意的，都有. 题型三 含参不等式之参变分离 思维导图-----方法梳理 含参不等式问题是导数最常见的题型之一，解答题中常用的方法有三种：参变分离、带参讨论、先必要后充分.在处理这类问题时，我们需要根据实际的情况，选择一个合适的方法来求解.这一小节我们主要针对用参变分离求解的题型，其基本的解题步骤是： （1）将含参不等式等价转化成或的形式； （2）求函数的最小值或最大值，得出a的取值范围. 注意：能用参变分离这一方法来求解的含参不等式问题，一般参变分离后的函数不复杂，易于研究. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.已知函数为减函数，求实数a的取值范围. 例2.若不等式恒成立，求实数a的取值范围. 例3.已知函数，. （1）求证：当时，； （2）若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.已知函数， （1）若是单调函数，求a的最大值； （2）若在上恒成立，求a的取值范围. 2.（2010·全国Ⅰ卷·节选）已知函数，若，求实数a的取值范围. 3.（2015·重庆）设函数 （1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程； （2）若在上为减函数，求a的取值范围. 4.（2011·浙江）设函数，. （1）若为的极值点，求实数； （2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立，注：为自然对数的底数. 5.已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求的最大值. 题型四 含参不等式之端点效应 思维导图-----方法梳理 假设题干给出含参不等式在上恒成立，求参数的取值范围.这类问题俗称含参不等式恒成立问题.若恰好满足，则称该不等式具有端点效应.具有端点效应的含参不等式恒成立问题的一种常用的解题方法是带参讨论，寻找讨论的分界点是解题的关键.既然要恒成立，且，那么在右侧附近函数值不能减少，所以，由此可得到成立的必要条件（不一定是充分条件），从而找到讨论的分界点. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.已知函数，其中. （1）当时，证明：； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 例2.已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.