专题2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（浙教版）

专题2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学） 1、掌握根与系数的关系的推导过程； 2、掌握韦达定理的应用，利用韦达定理确定实数根的数量； 知识点01 一元二次方程根与系数的关系 【知识点】 知识点：根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【典型例题】 例1．（2022秋·河南安阳·九年级校考阶段练习）已知，是方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程的解得的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，． 例2．（2022秋·四川成都·九年级校考期中）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______________． 【答案】2018 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解 ． 【详解】解：由题意可得： ，， ∴ ， 故答案为：2018． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 例3．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）已知关于x的方程． (1)说明：无论k取何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，且，求出方程的根． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）由，得出，则原方程为，解方程即可得出结果． 【详解】（1）证明：， 所以此方程是有实根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴原方程为：，即， ∴， 解得：， ∴方程的这两个实数根为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、根的判别式等知识；熟练掌握根与系数的关系、根的判别式是解题的关键． 【即学即练】 1．（2022秋·河南·九年级校考阶段练习）已知m和n分别为一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系，可知两根之和等于，即可求出的值． 【详解】解：和分别为一元二次方程的两个不相等的实数根， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是牢记两根之和等于． 2．（2020秋·四川凉山·九年级校考期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值为（　　）． A．2 B．6 C． D．0 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出，，将其代入原式中即可求出结论． 【详解】解：m，n是方程的两个实数根， ，， ， 故选B： 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记根与系数的关系是解题的关键． 3．（2022秋·陕西西安·九年级陕西师大附中校考阶段练习）一元二次方程的两个根分别是，则的值是（　　） A．3 B．7 C． D．11 【答案】B 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一